1.1.2 集合的基本关系
课后篇巩固提升
夯实基础
1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析∵x∈N,n∈N,
∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.
∴其子集的个数是23=8.
答案B
2.已知P={0,1},M={x|x?P},则P与M的关系为 ( )
A.P?M B.P?M
C.M?P D.P∈M
解析M={x|x?P}={?,{0},{1},{0,1}},故P∈M.
答案D
3.(多选)设集合A={x∈Z|x<-1},则( )
A.??A B.2∈A
C.0∈A D.{-2}?A
解析B中2?A,C中0?A.
答案AD
4.已知集合A=m,nm,1,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则( )
A.m=1,n=0 B.m=-1,n=1
C.m=-1,n=0 D.m=1,n=-1
解析由A=B,得m2=1,且nm=0,m=m+n,
解得m=±1,n=0.
又m≠1,∴m=-1,n=0.
答案C
5.设集合M=xx=k2+14,k∈Z,集合N=xx=k4+12,k∈Z,则( )
A.M=N
B.M?N
C.N?M
D.M不是N的子集,N也不是M的子集
解析集合M中的元素x=2k+14(k∈Z),集合N中的元素x=k+24(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M?N.
答案B
6.若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A?B成立的所有a的集合是( )
A.{a|1≤a≤9}
B.{a|6≤a≤9}
C.{a|a≤9}
D.?
解析∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.
又∵A?B,∴2a+1≥3,3a-5≤22,即a≥1,a≤9,∴1≤a≤9.
综上可知,6≤a≤9.
答案B
7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为 .?
解析对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,y最小=4×(-6)-44=-7,所以A={y|y≥-7}.
又B={x|x>3},由图知B?A.
答案B?A
8.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.
解因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.
因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,
故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.
9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?,B?A,求a,b的值.
分析由B≠?,B?A,可见B是A的非空子集.而A的非空子集有三个:{-1},{1},{-1,1},所以B要分三种情形讨论.
解由B?A,知B中的所有元素都属于集合A.
又B≠?,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.
当B={-1}时,1+2a+b=0,(-2a)2-4b=0,解得a=-1,b=1;
当B={1}时,1-2a+b=0,(-2a)2-4b=0,解得a=1,b=1;
当B={-1,1}时,1+2a+b=0,1-2a+b=0,解得a=0,b=-1.
综上所述,a,b的值为a=-1,b=1或a=1,b=1或a=0,b=-1.
能力提升
1.已知A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
A.1 B.2
C.3 D.4
解析∵A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={1,2,3,4},A?C,
∴1,2∈C.
又C?B,∴满足条件的集合C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},共4个.故选D.
答案D
2.集合M=xx=m+16,m∈Z,N=xx=n2-13,n∈Z ,P=xx=p2+16,p∈Z,则M,N,P之间的关系是( )
A.M=N?P
B.M?N=P
C.M?N?P
D.N?P=M
解析M=xx=6m+16,m∈Z,
N=xx=3n-26=3(n-1)+16,n∈Z,
P=xx=3p+16,p∈Z.
由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M?N=P.
答案B
3.定义A*B={x|x∈A,且x?B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为 .?
答案4
4.设S为实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列结论:
①集合S={a+b3|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集.其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)?
解析对于整数a1,b1,a2,b2,有a1+b13+a2+b23=(a1+a2)+(b1+b2)3∈S,a1+b13-(a2+b23)=(a1-a2)+(b1-b2)3∈S,(a1+b13)(a2+b23)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)3∈S,所以①正确.易知②正确.当S={0}时,S为封闭集,所以③错误.取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2×3=6?T,所以④错误.故填①②.
答案①②
5.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.
解①若a+b=ac,a+2b=ac2,消去b,得a+ac2-2ac=0,
即a(c2-2c+1)=0,
当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a≠0,∴c2-2c+1=0,即c=1.
当c=1时,集合B中的三个元素也相同,不满足集合中元素的互异性,
∴c=1舍去,即此时无解.
②若a+b=ac2,a+2b=ac,消去b,得2ac2-ac-a=0,
即a(2c2-c-1)=0,
∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.
又c≠1,∴c=-12.经检验,c=-12符合题意.
综上,c=-12.
6.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={y|y=2x-a,a∈R,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},是否存在实数a,使C?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
解A={x|-1≤x≤2},∵当x∈A时,
-2-a≤2x-a≤4-a,0≤x2≤4,
∴B={y|-2-a≤y≤4-a,a∈R,y∈R},
C={z|0≤z≤4,z∈R}.
若C?B,则应有-2-a≤0,4-a≥4,
解得a≥-2,a≤0,即-2≤a≤0.
∴存在实数a∈{a|-2≤a≤0},使C?B成立.
7.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.
(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A?B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;
(2)若A?B成立,求出相应的实数对(a,b).
解(1)不存在.理由如下:
若对任意的实数b都有A?B,
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.
因为A={a-4,a+4},
所以a-4=1,a+4=2或a-4=2,a+4=1这都不可能,所以这样的实数a不存在.
(2)由(1)易知,当且仅当a-4=1,a+4=b或a-4=2,a+4=b或a-4=b,a+4=1或a-4=b,a+4=2时A?B.
解得a=5,b=9或a=6,b=10或a=-3,b=-7或a=-2,b=-6.
所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).
课件32张PPT。1.1.2 集合的基本关系一二三四知识点一、维恩图
1.思考
集合能用直观图形来表示吗?
提示:能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
2.填空.
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.一二三四知识点二、子集、真子集、集合相等的概念
1.思考
下列写法哪些是正确的?
①0={0};②{0}?{0};③0∈{0};④0?{0}.
提示:只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.一二三四2.填写下表: 一二三四3.做一做
用适当的符号填空(?,=,?).
(1){0,1} N;?
(2){2} {x|x2=x};?
(3){2,1} {x|x2-3x+2=0}.?
答案:(1)? (2)? (3)=一二三四知识点三、子集、真子集的性质
1.思考
?与{?}的关系如何?
提示:??{?}与?∈{?}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把?看成集合{?}中的元素来考虑.
2.填空.
(1)规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A.
(3)对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则A?C.
(4)对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则A?C.一二三四知识点四、集合关系与其特征性质之间的关系
1.思考
试从集合特征性质的角度来理解集合A={x|x是6的约数},与集合B={x|x是12的约数}的关系.
提示:集合A的特征性质p(x)是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x)是:x是12的约数.而6的约数是1,2,3,6;12的约数是1,2,3,4,6,12,由此得知,“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,则有“如果x是6的约数,那么x是12的约数”,即x∈A?x∈B,所以A?B.
2.填写下表:
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有探究一探究二探究三探究四思维辨析判断集合之间的关系
例1 (1)设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( )
A.P?N?M?Q
B.Q?M?N?P
C.P?M?N?Q
D.Q?N?M?P
(2)有下列关系:
①0∈{0};②??{0};③{0,1}?{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解析:(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形,故集合M,N,Q均为P的子集,再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q?M?N?P.
(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确;
②中由空集是任意非空集合的真子集可知??{0}正确;
③中集合{0,1}的元素是数,而集合{(0,1)}的元素是点,因此没有包含关系,故③错误;
④中集合中的元素是点,而点的坐标有顺序性,因此{(a,b)}≠{(b,a)},故④错误.综上,应选B.
答案:(1)B (2)B当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟判断两个集合A,B之间是否存在包含关系有以下几个步骤:
第一步:明确集合A,B中元素的特征.
第二步:分析集合A,B中元素之间的关系.
(1)当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B.
(2)当集合A中的元素都属于集合B,但集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有A?B.
(3)当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,有A=B.
(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时,有A?B,且B?A,即集合A,B互不包含.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析A.M?N B.M?N
C.N?M D.N?M
答案:B当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析确定集合的子集、真子集
例2 集合A={x|0≤x<3,且x∈N}的真子集的个数是( )
A.16 B.8 C.7 D.4
解析:因为0≤x<3,x∈N,所以x=0,1,2,即A={0,1,2},所以A的真子集的个数为23-1=7.
答案:C
例3 求满足条件{x|x2+5=0}?M?{x|x2-1=0}的集合M.
分析:M是集合{x|x2-1=0}的子集,又{x|x2+5=0}是空集,它是M的真子集,所以M不是空集.因此问题归结为求{x|x2-1=0}的非空子集.
解:因为{x|x2+5=0}=?,{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集为{-1},
{1},{-1,1},所以M为{-1}或{1}或{-1,1}.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.(1)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:
①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,但x?A.
所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之,不成立.
(2)若集合A={1,2},B={1,2,3},则A是B的子集,也是真子集,用符号A?B与A?B均可,但用A?B更准确.
2.与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素,则有:
(1)A的子集的个数为2n;
(2)A的真子集的个数为2n-1;
(3)A的非空子集的个数为2n-1;
(4)A的非空真子集的个数为2n-2.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2写出集合M={x|x(x-1)2(x-2)=0}的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集.
解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M={0,1,2}.
由0个元素构成的子集为:?;
由1个元素构成的子集为:{0},{1},{2};
由2个元素构成的子集为:{0,1},{0,2},{1,2};
由3个元素构成的子集为:{0,1,2}.
因此集合M的所有子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除集合{0,1,2}以外,其余的子集全是集合M的真子集.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析两个集合相等及其应用
【例4】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.
3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析根据子集的关系,确定参数的值
例5已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0},满足Q?P,求a的取值.
分析:先明确集合P,再结合Q?P对Q中的a分两种情况讨论.
解:P={x|x2+x-6=0}={2,-3}.
当a=0时,Q={x|ax+1=0}=?,Q?P成立.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 解决已知两个集合间的关系,求参数的范围问题时,通常要借助数轴;利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.在用数轴表示集合时,含“=”的端点用实心点表示,不含“=”的端点用空心圆圈表示.
对于本题而言易漏掉当a=0时的情况,要清楚当a=0时,ax+1=0是无解的,即此时Q为空集.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|(m-1)x-1=0},且B?A,则以实数m为元素的集合M为 .?当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解决集合中含参数问题的方法
对于两个集合A与B,A或B中含有待确定的参数(字母),若A?B或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A?B在未指明集合A非空时,应分A=?和A≠?两种情况来讨论.
②因为集合中的元素是无序的,由A?B或A=B得到的两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对A≠?这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上表示出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)将参数确定出来.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析要点提示:此类问题的易错点有三个地方:(1)忽略A=?的情况;(2)在数轴上表示两个集合时,没有分清实心点与空心圈;(3)没有弄清包含关系,没有正确地列出不等式或不等式组.
(3)解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证.
验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性;②所求参数能否取到端点值.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析典例 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.
(1)若B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;
(2)若A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围.
分析:求出集合A的元素,利用A,B的关系列不等式(组)求m的范围.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.
∵B?A,∴①若B=?,
则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B?A.
②若B≠?,
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析方法点睛 解决“A?B”或“A?B且B≠?”的问题时,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况易被忽略,应引起足够的重视.当堂检测1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.-1答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.设集合A={x|1A.a≥2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≤2
解析:结合数轴(如下图).
?
∵A?B,∴a≥2.
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.已知集合U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的维恩图是( )
?
解析:N={x|x2+x=0}={-1,0},对照维恩图可知A符合题意,
即N?M?U.
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.集合{a,b,c,d}的非空子集的个数为 ,非空真子集个数为 .?
答案:15 14探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.有下面5个命题:
①空集没有子集;
②任意集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若??A,则A≠?;
⑤集合A?B,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素.
其中不正确命题的序号有 .?
解析:①错误,因为空集是任意一个集合的子集;②错误,因为空集只有一个子集;③错误,因为空集是任意一个非空集合的真子集,空集并不是它本身的真子集;④正确;⑤错误,因为其叙述不符合子集的定义,若A?B,则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素即可.
答案:①②③⑤探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测6.已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2(1)试判断集合M,N之间的关系;
(2)写出集合M的所有子集和集合N的所有真子集.
解:M={x|x<2,且x∈N}={0,1},N={x|-2(1)M?N.
(2)M的子集有:?,{0},{1},{0,1};
N的真子集有:?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测