（新教材）人教B版数学必修第一册 （课件2份+练习）1.1.3　集合的基本运算

1.1.3　集合的基本运算
第1课时　交集与并集
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.(多选)若集合A={x|-2　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1)
B.{x|-2C.{x|-2D.{x|0解析在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
/
由数轴可知,A∩B={x|0答案AD
2.已知集合M={x|-34},则M∪N等于(　　)
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5C.{x|-3D.{x|x<-3或x>5}
解析在数轴上分别表示出集合M,N,如图所示,
/
由数轴可知,M∪N={x|x<-5或x>-3}.
答案A
3.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于(　　)
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析由于 A∪B={-1,0,2},则-1∈A或-1∈B.因为A={0},所以-1?A.所以必有-1∈B.
又B={2,m},则m=-1.
答案A
4.(2019江西K12联盟高三质检)已知集合A={x|y=2x-1},集合B={y|y=x2},则集合A∩B=(　　)
A.(1,1) B.{(1,1)}
C.{1} D.[0,+∞)
解析∵集合A={x|y=2x-1},∴A=R.
∵集合B={y|y=x2},∴集合B=[0,+∞),
∴A∩B=[0,+∞).
答案D
5.已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的维恩图,如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有(　　)
/
A.3个 B.2个
C.1个 D.无穷个
解析M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
答案B
6.已知集合A={x|x≥5},集合B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},则实数m等于　　　　　.?
解析在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
/
由于A∩B={x|5≤x≤6},则m=6.
答案6
7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5答案-4
8.设S={(x,y)|x<0,且y <0},T={(x,y)|x>0,且y>0},则S∩T=　　　　,S∪T=　　　　　　　　.?
解析集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点构成的集合,集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点构成的集合,则S∩T=?,S∪T={(x,y)|x>0,且y>0或x<0,且y<0}={(x,y)|xy>0}.
答案?　{(x,y)|xy>0}
9.已知集合A=
??
3-??>0,
3??+6>0
,集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B.
解解不等式组
3-??>0,
3??+6>0,
得-2则A={x|-2解不等式3>2m-1,得m<2,则B={m|m<2},
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
/
则A∩B={x|-210.设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|2x2-ax+2=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解因为A∪B=A,所以B?A.由已知得A={1,2},
①若1∈B,则2×1-a+2=0,解得a=4.
当a=4时,B={1}?A,符合题意.
②若2∈B,则2×22-2a+2=0,解得a=5.
此时B=
2,
1
2
?A,所以a=5不符合题意,舍去.
③若B=?,则a2-16<0,解得-4此时B?A.
④若1∈B,且2∈B,则
2×1-??+2=0,
2×
2
2
-2??+2=0,无解.
综上所述,a的取值范围为{a|-4/能力提升
1.已知集合A={(x,y)|x+y=3},集合B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于(　　)
A.{2,1} B.{(2,1)}
C.{x=2,y=1} D.(2,1)
解析集合A是直线x+y=3上的所有点构成的集合,集合B是直线x-y=1上的所有点构成的集合,解方程组
??+??=3,
??-??=1
得
??=2,
??=1,
则A∩B=
(??,??)
??+??=3,
??-??=1
={(2,1)}.
答案B
2.设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B=
1
2
,则A∪B等于(　　)
A.
1
2
,
1
3
,-4
B.
1
2
,-4
C.
1
2
,
1
3
D.
1
2
解析∵A∩B=
1
2
,∴
1
2
∈A,
1
2
∈B.
将
1
2
分别代入方程2x2-px+q=0及6x2+(p+2)x+5+q=0,联立得
1
2
-
1
2
??+??=0,
3
2
+
1
2
(??+2)+5+??=0,
解得
??=-7,
??=-4.
所以A={x|2x2+7x-4=0}=
-4,
1
2
,
B={x|6x2-5x+1=0}=
1
2
,
1
3
.
故A∪B=
1
2
,
1
3
,-4
.
答案A
3.已知集合A={x|a-1解析∵A={x|a-1而A∩B=?.
①a-1≥2a+1,即a≤-2时,A=?,满足题意;
②
2??+1>??-1,
2??+1≤0,
解得-21
2
;
③
2??+1>??-1,
??-1≥1,
解得a≥2.
综上可得:a的范围是/-∞,-
1
2
/∪[2,+∞).
答案/-∞,-
1
2
/∪[2,+∞)
4.设集合A={x|-1解析由{x|-1答案{a|15.若集合P={x|3解析依题意得P∩Q=Q,Q?P,
于是
2??+1<3??-5,
2??+1>3,
3??-5≤22,
解得6答案{a|66.设集合A={x|-1??
-53
2
,C={x|1-2a(1)求A∩B;
(2)若C≠?,且C?(A∩B),求实数a的取值范围.
解(1)∵A={x|-1??
-53
2
,
∴A∩B=
??
-13
2
.
(2)∵C≠?,∴1-2a<2a,∴a>
1
4
.
由(1)知A∩B=
??
-13
2
,
∵C?(A∩B),∴
1-2??≥-1,
2??≤
3
2
,
??>
1
4
,
解得
1
4
3
4
.
即实数a的取值范围是
??
1
4
3
4
.
7.设关于x的方程x2-mx+m2-19=0的解集为A,x2-5x+6=0的解集为B,x2+2x-8=0 的解集为C,且A∩B≠?,A∩C=?,试求m的值.
解由已知可得,B={2,3},C={2,-4},再由A∩B≠?及A∩C=?可知,3∈A,
所以3是关于x的方程x2-mx+m2-19=0的根,
即9-3m+m2-19=0,解得m=5或m=-2.
但当m=5时,A={2,3}与已知矛盾;
所以m=-2,此时A={-5,3}.
故m=-2.
8.已知集合A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是坐标平面内的点集,则是否存在实数a,b,使得A∩B≠?和(a,b)∈C同时成立?
解假设存在a,b,使得A∩B≠?和(a,b)∈C同时成立,
则集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z}与集合B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z}有公共元素,即对应的方程y=ax+b与y=3x2+15有公共解,
即方程组
??=????+??,
??=3
??
2
+15
有解,
所以方程3x2+15=ax+b必有解,
所以Δ=a2-12(15-b)≥0,
即-a2≤12b-180.0①
又因为(a,b)∈C,所以a2+b2≤144,0②
由①+②得b2≤12b-36,即(b-6)2≤0,
所以b=6,将b=6代入①得a2≥108.
再将b=6代入②得a2≤108,
因此a2=108,所以a=±6
3
.
再将a=±6
3
,b=6代入原方程,得3x2±6
3
x+9=0,解得x=±
3
?Z.
所以不存在实数a,b,使A∩B≠?和(a,b)∈C同时成立.
课件27张PPT。第1课时　交集与并集一二三知识点一、交集
1.思考
两个非空集合的交集可能是空集吗?
提示:两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B=?.反之,若A∩B=?,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=?.一二三2.填写下表: 一二三特别提醒对于A∩B={x|x∈A ,且x∈B},不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是文字定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.一二三3.做一做:已知集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于(　　)
A.{0}
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
解析:按照交集的定义求解即可.
M∩N={x|-2≤x<2}∩{0,1,2}={0,1}.
故选D.
答案:D一二三知识点二、并集
1.思考
(1)集合A∪B中的元素个数如何确定?
提示:①当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和;
②当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.一二三(2) A∩B与A∪B是什么关系?
提示:集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三层意思:“x∈A,且x?B”,如图甲所示的阴影部分;“x∈A,且x∈B”,如图乙所示的阴影部分;“x∈B,且x?A”,如图丙所示的阴影部分.
?
又A∩B={x|x∈A,且x∈B},则有(A∩B)?(A∪B).当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;当且仅当A≠B时,(A∩B)?(A∪B).一二三2.填写下表: 一二三3.做一做
设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于 (　　)
A.{1,2,2,3}
B.{2}
C.{1,2,3}
D.?
答案:C一二三知识点三、交集与并集的运算性质
1.思考
(1)判断集合A={2,3}与集合B={2,3,5}的关系,并写出A∩B和A∪B,你能发现什么规律?
提示:A与B的关系为A?B,A∩B={2,3},A∪B={2,3,5},由以上结论可推测A?B?A∩B=A?A∪B=B.一二三(2) A∩(B∪C)与A∪(B∩C)相等吗?
提示:A∩(B∪C)如图甲所示的阴影部分,A∪(B∩C)如图乙所示的阴影部分.
?
由图可知,A∩(B∪C)≠A∪(B∩C),
事实上有:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).一二三2.填写下表: 3.做一做
(1)若集合A={x|x>0},B={x|1解析:∵A?B,∴A∪B=A={x|x>0}.
答案:{x|x>0}
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①若A∩B=?,则A=?或B=?.(　　)
②A∩B=B?A?B.(　　)
③A∪B=A?A?B.(　　)
④A∪B=?,则A=B=?.(　　)
答案:①×　②×　③×　④√探究一探究二探究三探究四两个集合的交集运算
例1 设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4分析:首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4解:A={1,6},B={5,6,7,8},用维恩图表示集合A,B,如图所示,
依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.当堂检测探究一探究二探究三探究四反思感悟集合求交集的解题策略求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.当堂检测探究一探究二探究三探究四变式训练1(1)已知集合A={0,2,4,6},B={2,4,8,16},则A∩B等于(　　)
A.{2} B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16} D.{2,4}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
答案:(1)D　(2)A当堂检测探究一探究二探究三探究四两个集合的并集运算
例2 设集合A={x|x+1>0},B={x|-2分析:首先明确集合A中的元素,集合A是不等式x+1>0的解集,然后借助于数轴写出A∪B.
解:A={x|x>-1},在数轴上分别表示集合A,B,如图所示,
由数轴可知A∪B={x|x>-2}.
反思感悟求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么性质,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.当堂检测探究一探究二探究三探究四延伸探究 本例条件不变,如何求A∩B?(用区间表示)
解:A∩B=(-1,2).当堂检测探究一探究二探究三探究四集合运算性质的运用
【例3】 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|mx-1=0},若A∪B=A,则实数m构成的集合为　　　　　　　　.?当堂检测探究一探究二探究三探究四反思感悟集合运算性质的应用技巧
1.A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B,这两个性质常常作为“等价转化”的依据,要特别注意当A?B时,往往需要按A=?和A≠?两种情况分类讨论,而这一点却很容易在解题时被忽视,因此当题目中有A?B这一条件时,应有分类讨论的思想意识,以免造成漏解或增解.
2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.当堂检测探究一探究二探究三探究四变式训练2集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∩C=B,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意得B={x|x≥2},
又A={x|-1≤x<3},如图.
所以A∩B={x|2≤x<3}.所以a>-4.
所以实数a的取值范围为a>-4.当堂检测探究一探究二探究三探究四集合的交、并综合运算
例4已知集合A={y|y= x2-2x-3,x∈R},B={y|y= -x2+2x+13,
x∈R},求A∩B,A∪B.
分析:先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算.
解:∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},
∴A={y|y≥-4}.
∵B={y|y= -( x-1)2+14,x∈R},
∴B={y|y ≤14}.
将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,
∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.当堂检测探究一探究二探究三探究四反思感悟集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、维恩图或初中所学函数的图像等.当堂检测1.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|-1≤x≤4}
解析:在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
由数轴可知,A∩B ={x|0≤x≤2}.
答案:A
2.已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},则M∪N等于(　　)
A.{4,5,7} B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7} D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
解析:M={1,2,3,4,5,6,7},则集合M与N的所有元素构成的集合是M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.
答案:D探究一探究二探究三探究四当堂检测3.若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系必定是(　　)
A.A?C B.C?A
C.A?C D.C?A
解析:∵A∩B=A,B∪C=C,∴A?B,B?C.∴A?C.
答案:C
4.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是　　　　.?
解析:由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},
因为A∪B=B,所以A?B.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
答案:a≥2探究一探究二探究三探究四当堂检测5.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=　　　　　.?
解析:由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
答案:3
6.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=?时,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意得,M={2},
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
则M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)M={2}≠?,则2不是方程x2-3x+m=0的解,
所以4-6+m≠0,即m≠2.
所以实数m的取值范围为m≠2.探究一探究二探究三探究四当堂检测第2课时　补集与集合的综合运算
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.已知全集U={0,1,2,3,4},M={2,4},N={0,4},则?U(M∪N)等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{1,4} B.{3}
C.{1,3} D.{0,1,3,4}
解析∵M∪N={2,4}∪{0,4}={0,2,4},
∴?U(M∪N)={1,3}.
答案C
2.已知全集U=R,集合A={-1,0,1},B={x|x2-2x=0},则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
/
A.{-1} B.{2}
C.{1,2} D.{0,2}
解析由已知得B={0,2},
又图中阴影部分对应的集合为B∩?UA={0,2}∩{x|x≠-1,且x≠0,且x≠1}={2}.
答案B
3.已知全集U={x|-2 019≤x≤2 019},A={x|0A.a<2 019
B.a≤2 019
C.a≥2 019
D.0解析由题意知A≠?,且A?U,
因此a>0,且a≤2 019.
故a的取值范围是0答案D
4.已知集合P={x|x2+2ax+a<0},若2?P,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-
4
5
B.a≥-
4
5
C.a<-
4
5
D.a≤-
4
5
答案B
5.设全集U(U≠?)和集合M,N,P,且M=?UN,N=?UP,则M与P的关系是(　　)
A.M=?UP B.M=P
C.M?P D.M?P
解析∵M=?UN,N=?UP,
∴M=?UN=?U(?UP)=P.
答案B
6.已知A={0,2,4,6},?UA={-1,-3,1,3},?UB={-1,0,2},则B=　　　　　　,A∩B=　　　　　.?
答案{-3,1,3,4,6}　{4,6}
7.设S={1,2,3,4},且M={x∈S|x2-5x+p=0},若?SM={1,4},则p=　　　　　.?
解析由题意知M={2,3},
所以p=2×3=6.
答案6
8.设全集为R,A={x|x<0或x≥1},B={x|x≥a},若?RA??RB,则a的取值范围是　　　　　　.?
解析?RA={x|0≤x<1},?RB={x|x又?RA??RB,结合数轴(如下图),可得a≥1.
/
答案a≥1
9.已知全集U=R,A={x|-3≤x≤1},B={x|-1求:(1)?UA,?UB,?UP;
(2)?UA∩?UB,B∪?UP,P∩?UA.
解(1)借助数轴(数轴略)可知,?UA={x|x<-3或x>1},?UB={x|x≤-1或x>5},?UP={x|1(2)由(1)知?UA∩?UB={x|x<-3或x>5}.
B∪?UP={x|-110.已知集合A={x|4x2-11ax+8b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足?UA∩B={2},A∩?UB={4},U=R,求实数a,b的值.
解由条件?UA∩B={2}知,2∈B,且2?A.
由A∩?UB={4}知,4∈A,且4?B.将2,4分别代入集合B,A中的方程,得
2
2
-2??+??=0,
16-11??+2??=0,
即
4-2??+??=0,
16-11??+2??=0.
解得
??=
8
7
,
??=-
12
7
.
经检验知a,b符合题意,
所以a=
8
7
,b=-
12
7
.
/能力提升
1.(多选)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则(　　)
A.A∩B={0,1}
B.?UB={4}
C.A∪B={0,1,3,4}
D.集合A的真子集个数为8
解析选项A:由题意,A∩B={0,1},正确;选项B:?UB={2,4},不正确;选项C:A∪B={0,1,3,4},正确;选项D:集合A的真子集个数有23-1=7,不正确.
答案AC
2.设全集为U,集合A,B是U的子集,定义集合A与集合B的运算,A*B={x|x∈A,或x∈B,且x?A∩B},则(A*B)*A等于(　　)
A.A B.B
C.(?UA)∩B D.A∩(?UB)
答案B
3.已知全集U=Z,A={x|x=4k-1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},则A与?UB的关系为　.?
解析对于集合A,元素x=4k-1,k∈Z,
即x为被4除余3的整数.
整数集Z中还有被4除余数是0(整除),1,2的三类整数,分别记为x=4k(k∈Z),x=4k+1(k∈Z),x=4k+2(k∈Z).
因此,?UA={x|x=4k或x=4k+1或x=4k+2,k∈Z},?UB={x|x=4k-1或x=4k或x=4k+2,k∈Z}.
由子集的定义知,A是?UB的真子集,即A??UB.
答案A??UB
4.已知集合U={1,2,3,4,5},若A∪B=U,A∩B≠?,且A∩?UB={1,2},试写出满足上述条件的集合A,B.
分析由A∩?UB={1,2},知1∈A,2∈A,且1?B,2?B,然后利用A∩B≠?,A∪B=U,进行分类.
解由A∩?UB={1,2},知1∈A,2∈A,且1?B,2?B.
∵A∩B≠?,A∪B=U,
∴A,B的可能情形有
A={1,2,3},B={3,4,5};A={1,2,4},B={3,4,5};A={1,2,5},B={3,4,5};A={1,2,3,4},B={3,4,5};A={1,2,3,5},B={3,4,5};A={1,2,4,5},B={3,4,5};A={1,2,3,4,5},B={3,4,5}.
5.已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.
分析B∪A≠A说明B不是A的子集,方程x2-2x-8=0的解为-2,4,则方程x2+ax+a2-12=0的实数解构成的集合可能出现以下三种情况:①-2是解,4不是解;②4是解,-2不是解;③-2和4都不是解.分别求解十分烦琐,这时我们先由B∪A=A,求出a的取值范围,再利用补集思想求解.
解若B∪A=A,则B?A.
因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},
所以集合B有以下三种情况:
①当B=?时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,
解得a<-4或a>4.
②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,
解得a=-4或a=4.
若a=-4,则B={2}?A;
若a=4,则B={-2}?A.
③当B={-2,4}时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,则
-??=-2+4,
??
2
-12=-2×4,
所以a=-2.
综上可得,B∪A=A时,
a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.
故满足B∪A≠A的实数a的取值范围为-4≤a<4,且a≠-2.
6.我们知道,如果集合A?U,那么U的子集A的补集为?UA={x|x∈U,且x?A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x?B}叫作A与B的差集,记作A-B.例如,A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3},B-A={4,6,7}.
据此,回答以下问题:
(1)若U是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班女同学组成的集合,求U-A及?UA;
(2)在图中,分别用阴影表示集合A-B;
/
(3)如果A-B=?,那么A与B之间具有怎样的关系?
解(1)U-A={x|x是高一(1)班的男生},?UA={x|x是高一(1)班的男生}.
(2)阴影部分如下图所示.
/
(3)若A-B=?,则A?B.
课件24张PPT。第2课时　补集与集合的综合运算一二知识点一、全集
1.思考
全集一定包含任何元素吗?
提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.
2.填空.
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是 某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.一二知识点二、补集
1.思考
(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?
提示:剩余元素构成的集合为{a,c,d,e}.
(2)上述问题中所求得的集合应该怎样命名?
提示:集合{a,c,d,e}可称为子集A在全集U中的补集.符号表示为:?UA={a,c,d,e}.一二2.填写下表: 一二3.做一做
(1)若U={x|x>0},A={x|x>3},则?UA=　　　　　　　　.?
答案:{x|0(2)如图所示的阴影部分表示的集合是(　　)
A.A∩(?UB) B.B∩(?UA)
C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)
答案:B(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).(　　)
②对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).(　　)
③A∩(?RA)=R.(　　)
④若A=?,则?R?=?.(　　)
答案:①√　②√　③×　④×探究一探究二探究三思想方法集合的补集运算
例1 已知全集U=R,集合A={x|-3求:(1)?UA,?UB;
(2)?U(A∩B).
分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.
解:(1)∵A={x|-3在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
?
∴?UA={x|x≤-3或x≥3},?UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3?
∴?U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.当堂检测探究一探究二探究三思想方法反思感悟求集合补集的解题策略
1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.当堂检测探究一探究二探究三思想方法变式训练1求解下列各题:
(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA=　　　　　　;?
(2)设全集U={三角形},集合A={直角三角形},则?UA=　　　　.?
解析:(1)
?
由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得?UA={x|x<0,或x≥3}.
(2)∵U={三角形},A={直角三角形},
∴?UA={锐角三角形,或钝角三角形}.
答案:(1){x|x<0,或x≥3}
(2){锐角三角形,或钝角三角形}当堂检测探究一探究二探究三思想方法交集、并集、补集的综合运算
例2 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2分析:可借助数轴分析求解.
解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),
由图可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},
A∩B={x|-2?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4},
(?UA)∩B={x|-31.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.
2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.当堂检测探究一探究二探究三思想方法变式训练2集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(?RB)=(　　)
A.{x|x>1} B.{x|x≥1}
C.{x|1答案:D当堂检测探究一探究二探究三思想方法补集运算中的含参数问题
例3 (1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},?UA={5},则a等于　　　　　　;?
(2)已知集合A={x|x解析:(1)由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.
当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5};
当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5}.所以a的值为-4或2.
(2)?RB={x|x≤1,或x≥2},由于A∪?RB=R,如图所示,所以a≥2.
?
答案:(1)-4或2　(2)a≥2当堂检测探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:
?
2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.当堂检测探究一探究二探究三思想方法延伸探究
已知集合A={x|2a-2解:易知?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?.
∵A??RB,
∴分A=?和A≠?两种情况讨论.
若A=?,此时有2a-2≥a,
∴a≥2.∴a≤1.
综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤1,或a≥2}.当堂检测探究一探究二探究三思想方法补集思想的综合应用
典例 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.当堂检测探究一探究二探究三思想方法解:(1)∵A={x|0≤x≤2},
∴?RA={x|x<0,或x>2}.
设(?RA)∪B=R,如图所示.
∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,
∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a<-1,或a>0}.
(2)若A∩B=A,则A?B,又A≠?,∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,
即{a|a<-1,或a>0}.当堂检测探究一探究二探究三思想方法方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.
(1)运用补集思想求参数范围的方法:
①否定已知条件考虑反面问题;
②求解反面问题对应的参数范围;
③将反面问题对应的参数范围取补集.
(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.当堂检测探究一探究二探究三思想方法变式训练已知集合A={x|x<-6,或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠?,求k的取值范围.
分析:A∩B≠?时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的反面:先求A∩B=?时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得A∩B≠?时k的取值范围.
解:由已知可得B={x|k≤x≤k+1},解得-6≤k≤2.
令P={k|-6≤k≤2},
则?RP={k|k<-6,或k>2}.
所以当A∩B≠?时,k的取值范围是k<-6或k>2.当堂检测1.设U=R,A={x|x<2,或x>4},则?UA等于(　　)
A.{x|x<2,或x>4} B.{x|2C.{x|2≤x≤4} D.{x|x≥2,或x≤4}
答案:C
2.设集合I={0,1,2,3,4}为全集,集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},则?IA∪?IB等于(　　)
A.{0} B.{0,1}
C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4}
答案:C探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.有下列命题:
①若A∩B=U,则A=B=U;②若A∪B=?,则A=B=?;
③若A∪B=U,则?UA∩?UB=?;④若A∩B=?,则A=B=?;
⑤若A∩B=?,则?UA∪?UB=U;⑥若A∪B=U,则A=B=U.
其中不正确的有(　　)
A.0个 B.2个 C.4个 D.6个
解析:①若集合A,B中有一个为U的真子集,那么A∩B≠U,所以A=B=U;②若集合A,B中有一个不为空集,那么A∪B≠?,所以A=B=?;③因为?UA∩?UB=?U(A∪B),而A∪B=U,所以?UA∩?UB=?U(A∪B)=?;④当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有A∩B=?,所以不一定有A=B=?;⑤因为?UA∪?UB=?U(A∩B),而A∩B=?,所以?UA∪?UB=?U(A∩B)=U;⑥当A∪B=U时,有可能A=?,B=U,所以不一定有A=B=U.所以不正确的为④⑥,共2个.
答案:B探究一探究二探究三思想方法当堂检测4.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.(1) _____________　　　(2)_____________
答案:(1)?U(A∪B)(或?UA∩?UB)　(2)?UA∩B探究一探究二探究三思想方法当堂检测6.设全集为U,已知集合A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},
?UB={1,4,6,8,9},求集合B.
解:如图,借助维恩图,
得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
∵?UB={1,4,6,8,9},
∴B={2,3,5,7}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测