1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x=2时,x2-3x+2=0”是真命题
解析命题“直角相等”,写成“若p,则q”的形式为:若两个角都是直角,则这两个角相等,所以选项A是错误的;语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是陈述句,而且可以判断真假,所以选项B是错误的;选项C是错误的,应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”;选项D是正确的.
答案D
2.(多选)下列命题中为假命题的是( )
A.?x∈R,x2+1<0
B.?x∈Z,3x+1是整数
C.?x∈R,|x|>3
D.?x∈Q,x2∈Z
答案ACD
3.下列四个命题:①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.其中是真命题的为( )
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
解析①所有无理数都是实数,为真命题;②显然为真命题;③显然不成立,为假命题;④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题.
答案C
4.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使
1
??
>2
解析A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B中x=0时,x2=0,所以B是存在量词命题又是真命题;C中因为
3
+(-
3
)=0,所以C是假命题;D中对于任何一个负数x,都有
1
??
<0,所以D是假命题.
答案B
5.用符号“?”或“?”表示含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0,符号表示为 ;?
(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为 .?
答案(1)?x∈R,有x2≥0
(2)?x,y∈R,使2x+3y+3>0成立
6.已知命题p:?x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是 .?
解析由题意得Δ=4+4a<0,解得a<-1.
答案(-∞,-1)
7.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其真假.
(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解.
(3)存在实数x,使得
1
??
2
-??+1
=2.
解(1)是存在量词命题,是假命题.
(2)是全称量词命题,是假命题.
(3)是存在量词命题,是假命题.
/能力提升
1.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的整数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析对于任意的x∈R,x2+x+1=/x+
1
2
/2+
3
4
>0恒成立,所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题.
答案B
2.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围.
解(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.
课件29张PPT。1.2.1 命题与量词一二三知识点一、命题的概念与分类
1.思考
在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?
提示:对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
2.填空
(1)命题的概念:在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.
(3)分类:一二三3.做一做
(1)下列语句是命题的是( )
①四边形内角和等于360° ②1>3 ③一个数不是正数就是负数 ④x>2 ⑤2019年央视猪年春晚真精彩啊!
A.①②③ B.①③④ C.①②⑤ D.②③⑤
解析:①②③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④⑤不是命题.
答案:A
(2)下列命题中,真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形 ②若xy=0,则|x|+|y|=0 ③若a>b,则a+c>b+c ④矩形的对角线互相垂直
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①②④是假命题,③是真命题.
答案:A一二三知识点二、全称量词与全称量词命题
1.思考
观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m≤8;
Q:对所有的m∈R,m≤8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.一二三2.填空
(1)概念
一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“?”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.那么,全称量词命题“对集合M中所有元素x,p(x)”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意x属于集合M,有p(x)成立”.
(3)全称量词命题的真假判定
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.一二三3.做一做
下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数 ②有的矩形是正方形 ③三角形的内角和是180°
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①③是全称量词命题.
答案:C一二三知识点三、存在量词与存在量词命题
1.思考
观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m>8;
Q:存在一个m0∈Z,m0>8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.一二三2.填空
(1)概念
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“?”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题.
(2)表示
存在量词命题“存在集合M中的元素x,p(x)”可用符号简记为“?x∈M,p(x)”,读作“存在集合M中的元素x,使p(x)成立”.
(3)存在量词命题真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.一二三3.做一做
下列命题中,是真命题的是( )
A.?x∈R,x2>0 B.?x∈R,x2+2x>0
解析:?x∈R,x2≥0,故排除A;
取x=0,则x2+2x=0,故排除B;
答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析命题的判断
例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
(2)求证 是无理数.
(3)并非所有的人都喜欢苹果.
(4)大角所对的边大于小角所对的边.
(5)x∈R,x2+4x+4≥0.
分析:根据命题的定义进行判断.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题.
(2)祈使句,不是命题.
(3)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.
(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.
(5)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,它等价于x2+4x+4>0或x2+4x+4=0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.
反思感悟 判断一个语句是不是命题的关键点:
(1)“是陈述句”.
(2)“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 1下列语句是否为命题?如果是,判断其真假.
(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?
(2)偶数的平方仍是偶数.
解:(1)该语句是疑问句,不能判断其真假,故不是命题;(2)所有的偶数的平方都是偶数,无一例外,故该语句是命题且为真命题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析全称量词命题与存在量词命题的辨析
例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等.
(2)存在一个四边形有外接圆.
(3)二次方程都存在实数根.
(4)负数没有对数.
分析:首先确定量词,然后判断命题的类型.
解:(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.
(2)命题为存在量词命题.
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”,故为全称量词命题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例3判断下列命题的真假.
(2)?α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.
(3)存在一个数既是偶数又是负数.
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
分析:对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.
(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.
(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.
(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 3判断下列命题的真假.
(1)有一些三角形的两个内角相等.
(2)?x∈R,x2+2x+4<0.
(3)?x∈Z,2x-1是奇数.
解:(1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,
所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.?x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析全称量词命题、存在量词命题的应用
例4(1)已知命题p(x):x+1>x为真命题,求x的取值范围.
(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.
(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若?a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.
分析:把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系.
解:(1)因为x+1>x,所以1>0(此式恒成立),所以x∈R.
(3)因为?a∈A,都有?a∈B成立,所以A?B,则a≤2,即实数a的取值范围是a≤2.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 求解含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 4已知命题“?x∈R,x2+2x+m≠0恒成立”是真命题,求实数m的取值范围.
解:因为“?x∈R,x2+2x+m≠0”是真命题,所以Δ=4-4m<0,解得m>1.
综上所述,实数m的取值范围是m>1.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析分类讨论思想的应用
典例 命题p:关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.
若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析方法点睛 本题考查真假命题的判断,一元二次方程根与系数的关系,同时考查了分类讨论思想的应用.求解时灵活运用韦达定理是解题的关键.当堂检测1.下列语句是命题的是( )
A.y=kx+b是一次函数吗? B.sin 45°=1
C.x2+2x-1>0 D.x2+y2=0
解析:对于A,是疑问句,不是命题;对于C、D,不能判断真假,不是命题;对于B,是陈述句且能判断真假,是命题.
答案:B
2.(多选)下列命题是全称量词命题的是( )
A.中国公民都有受教育的权利
B.每一个中学生都要接受爱国主义教育
C.有人既能写小说,也能搞发明创造
D.任何一个数除0,都等于0
解析:A、B、D都是全称量词命题.
答案:ABD探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“任意x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;
③命题“存在x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有②③正确.
答案:C
4.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是( )
A.对任意的a,b∈R都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.有的菱形的两条对角线相等
D.平行四边形的一组对边平行且相等
解析:A是假命题;B、C是存在量词命题.
答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是( )
A.存在一个α∈R,使α2=α
B.存在实数x,使|x|=-1
C.对一切α∈R,α=|α|
解析:C、D是全称量词命题,B是假命题.
答案:A
6.命题“有些负数x满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为 .?
解析:由题意可知该命题是存在量词命题,所以应用“?”,表述为?x<0,(1+x)(1-9x)>0.
答案:?x<0,(1+x)(1-9x)>0探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
