1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课后篇巩固提升
夯实基础
1.命题p:“?x∈R,x2+2x+m>0”的否定为( )
A.?x∈R,x2+2x+m>0
B.?x∈R,x2+2x+m≤0
C.?x∈R,x2+2x+m<0
D.?x∈R,x2+2x+m≤0
答案B
2.针对我校某次考试有关的命题p:所有理科学生都会做第1题,那么命题p的否定是( )
A.所有理科学生都不会做第1题
B.存在一个理科学生不会做第1题
C.存在一个理科学生会做第1题
D.至少有一个理科学生会做第1题
答案B
3.命题“?x∈N,x3
A.?x∈N,x3C.?x∈N,x3≥x2 D.?x?N,x3答案B
4.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为 ( )
A.存在一个三角形,内角和等于180°
B.任意三角形,内角和都等于180°
C.任意三角形,内角和都不等于180°
D.很多三角形,内角和不等于180°
答案B
5.命题“有的有理数没有倒数”的否定是 ,否定后的命题是 命题.(填“真”“假”之一)?
解析因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题的否定为:任意的有理数都有倒数.
答案任意的有理数都有倒数 假
6.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是 .?
解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3.
又因为p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8,
故实数m的取值范围是3≤m<8.
答案3≤m<8
7.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
解(1)命题p的否定:存在实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组x-a≤0,x-b>0的解集不为空集,
通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b能力提升
1.写出下列命题的否定并判断其真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)某些梯形的对角线互相平分;
(3)被8整除的数能被4整除.
解(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是??p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此??p是真命题.
(2)命题的否定:任何一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.
(3)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
2.已知命题p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:?x0∈R,ax02-2ax0-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.
解因为命题p是假命题,所以??p:?x0∈R,x02+(a-1)x0+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.
因为命题q:?x0∈R,ax02-2ax0-3>0是真命题.
所以当a=0时,-3<0,不合题意;
当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.
当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图像开口向上,一定存在满足条件的x0.故a<-3或a>0.
综上,a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).
课件16张PPT。1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定知识点、全称量词命题和存在量词命题的否定
1.思考
什么叫否命题?什么叫命题的否定?
提示:将一个命题的条件和结论都进行否定得到的命题叫否命题;只否定命题的结论,条件不变,这样的命题叫命题的否定.
2.填空深度解读
1.写全称量词命题的否定的方法
(1)更换量词,将全称量词换为存在量词.
(2)将结论否定.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.写存在量词命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词.
(2)将结论否定.
存在量词命题的否定是全称量词命题.3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键.
(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.3.做一做
(1)命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0
C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0
解析:命题“?x∈R,|x|+x2≥0”是全称量词命题,其否定为存在量词命题,所以命题的否定是?x∈R,|x|+x2<0.
答案:C
(2)“?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”的否定是( )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020 B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+2 020
C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2 020 D.以上都不对
解析:命题“?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,所以命题的否定是?m,n∈Z,有m2≠n2+2 020.
答案:C探究一探究二思维辨析全称量词命题的否定
例1写出下列全称量词命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行.
(2)?a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根.
(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解.
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
分析:把全称量词改为存在量词,然后否定结论.
解:(1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)?a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根;
(3)?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)存在被5整除的整数,末位不是0.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟 (1)全称量词命题的否定的两个关注点
①写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
②有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.当堂检测探究一探究二思维辨析(2)常见词语的否定: 当堂检测探究一探究二思维辨析存在量词命题的否定
例2写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p:存在x∈R,2x+1≥0.
(2)q:存在x∈R,x2-x+ <0.
(3)r:有些分数不是有理数.
分析:把存在量词改为全称量词,然后否定结论.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟 (1)存在量词命题否定的方法及关注点
①方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词的否定.
②关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
注意:不要把命题的否定和否命题混为一谈.
(2)对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.当堂检测探究一探究二思维辨析延伸探究 将本例(2)改为:q :存在x∈R,x2-x-1<0,写出它的否定,并判断真假.
解:任意x∈R,x2-x-1≥0.当堂检测探究一探究二思维辨析分类讨论思想的应用——求参数的取值范围
典例 命题p:?x∈R,ax2+ax+1≥0,若?? p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析:当a=0时,不等式恒成立;
当a≠0时,要使不等式恒成立.
综上所述:0≤a≤4,则命题p:0≤a≤4,
则??p:a<0或a>4.
答案:D
方法点睛 本题为含参数的不等式问题,求解时应分a=0或a≠0两类来讨论,求解时应采用数形结合的思想建立不等式组求解.当堂检测1.命题“?x>0,x2>0”的否定是( )
A.?x>0,x2≤0 B.?x>0,x2≤0
C.?x≤0,x2≤0 D.?x≤0,x2≤0
解析:全称量词命题的否定是存在量词命题.
答案:B
2.命题:?x>0,x2-x-2>0的否定是( )
A.?x≤0,x2-x-2≤0
B.?x≤0,x2-x-2≤0
C.?x>0,x2-x-2≤0
D.?x>0,x2-x-2≤0
解析:存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测答案:A 4.命题“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是 命题.(选填“真”“假”之一)?
解析:∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,
则命题“?x∈R,x2+2x+1=0”是真命题,则命题“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是假命题.
答案:假探究一探究二思维辨析当堂检测5.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2+2x+2=0;
(2)p:所有的正方形都是菱形;
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解:(1)?x∈R,x2+2x+2≠0,真命题.
因为?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.
(2)至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是菱形.
(3)?x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.探究一探究二思维辨析当堂检测