1.2.3 充分条件、必要条件
课后篇巩固提升
夯实基础
1.“k2=1”是“k=-1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由k2=1可得k=±1,k=-1一定有k2=1.
∴“k2=1”是“k=-1”的必要不充分条件.
答案B
2.集合M={x|-1
A.-2≤b<0
B.0C.-3D.-2解析因为a=1,
所以P={x|b-1因为M∩P≠?,所以-1≤b-1<1或-1所以0≤b<2或-2即-2故选D.
答案D
3.(多选)下列不等式:
①x<1;②0
A.① B.② C.③ D.④
解析由于-1答案BCD
4.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是 ,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是 .?
解析因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.
答案a≤0 a≥0
5.已知集合A={x|-1解析因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,
所以A?B,所以m+1≥3,即m≥2.
答案{m|m≥2}
6.给出下列三组命题:
(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
(2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
(3)p:A?B,q:A∩B=A.
试分别指出p是q的什么条件.
解(1)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等?两个三角形相似,所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为矩形的对角线相等,所以p?q,而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以qp.
所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为p?q,且q?p,所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件.
能力提升
1.已知p:m-1A.3B.3≤m≤5
C.m<3或m>5
D.m≤3或m≥5
解析因为q是p的必要条件,q不是p的充分条件,所以由p能得到q,而由q得不到p,
所以m-1≥2,m+1≤6,
所以3≤m≤5.
所以实数m的取值范围是3≤m≤5.
答案B
2.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明必要性:由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根.
所以Δ=b2-4ac>0,且x1x2=ca<0,
所以ac<0.
充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=ca<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根.
因此一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
课件39张PPT。1.2.3 充分条件、必要条件一二知识点一、充分条件与必要条件
1.思考
用恰当的语言表示下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;
②只有同心协力,才能把事情办好.
提示:①如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是落后的充分条件;②同心协力是办好事情的必要条件.一二2.填表 一二深度解读
1.在逻辑推理中“p?q”的几种说法
(1)“如果p,那么q”为真命题.
(2)p是q的充分条件.
(3)q是p的必要条件.
(4)p的必要条件是q.
(5)q的充分条件是p.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
2.对充分条件的理解
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.
(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.一二3.对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.一二3.做一做
下列命题中是真命题的是( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件;②“x=1”是“x2=1”的必要条件;③“a=0”是“ab=0”的必要条件.
A.①② B.②③
C.② D.①
解析:x>4?x>3,故①是真命题;
答案:D一二知识点二、充要条件
1.思考
用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么?
提示:(1)判定“若p,则q”的真假.
(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.一二2.思考
如图所示的四个电路图,条件A:“开关S1闭合”;条件B:“灯泡L亮”.问A是B的什么条件?
分析:甲:S1、S2是并联的开关,S1或S2闭合,电路即通,L亮.
乙:S1闭合L亮.丙:S1、S2是串联开关,S1、S2同时闭合,L亮.
丁:S1对L没有影响.
解:对于图甲,A是B的充分不必要条件;对于图乙,A是B的充要条件;对于图丙,A是B的必要不充分条件;对于图丁,A是B的既不充分也不必要条件.一二3.填空
如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,即既有p?q,又有q?p,就记作p?q,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为充要条件.一二深度解读
1.对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.一二2.常见的四种条件与命题真假的关系
如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:一二3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}. 一二4.做一做
“x=0”是“x2=0”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
解析:因为x=0时,x2=0,当x2=0时,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充要条件.
答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析充分条件、必要条件的判断
例1命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的 条件,“a=4n”是“a是偶数”的 条件(用“充分”或“必要”填空).?
解析:命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.
答案:必要 充分当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 1对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:B 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析充分不必要条件、必要不充分条件的判断
例2用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空.
(3)x+y≠3是x≠1或y≠2的 条件.?
分析:从集合观点“小范围大范围”进行理解判断→注意特殊值的使用当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:(1)充分不必要 (2)既不充分也不必要 (3)充分不必要 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;
若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.
(2)在判断时注意反例法的应用.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:
①若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
②p:|x|>3,q:x2>9.
解:①若a2+b2=0,则a=b=0,即p?q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要条件.
②由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要条件.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析充分条件与必要条件的应用
例3已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
分析:根据条件的充分必要性构建不等式组,解不等式组可得实数m的范围.
解:因为p是q的必要不充分条件,
所以q?p,
所以0(1)化简p、q;
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要)转化为集合间的关系;
(3)利用集合间的关系建立不等关系;
(4)求解参数范围.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究 若p是q的充分不必要条件,其他条件不变,试求m的取值范围.
解:因为p是q的充分不必要条件,所以p?q,
解得m≥9,
所以实数m的取值范围是[9,+∞).当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析充要条件的探求
例4求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
分析:首先讨论二次项的系数a是否为零,在a≠0时,利用判别式和根与系数的关系求解.
解:由于二次项系数是字母,因此,首先要对方程ax2+2x+1=0判定是一元一次方程还是一元二次方程.
(1)当a=0时,为一元一次方程,其根为x=- ,符合要求;
(2)当a≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4-4a≥0从而a≤1;当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 求充要条件的方法
求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.
提醒p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练 3设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
A.m>-1,n<5
B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5
D.m<-1,n>5
答案:A当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析数形结合思想的应用
在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于维恩图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.
1.维恩图的应用
(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.
(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析典例1 已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
分析:作出维恩图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:C 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析2.数轴的应用
(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.
(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析典例2 已知集合A={x|-1A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
分析:在数轴上表示集合A与集合B,判断两集合的关系,进而做出判断.答案:A 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析典例3 已知命题p:-10),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
分析: 把条件间的充分性、必要性转化为集合间的包含关系,在数轴上表示出来,列出不等式组,解不等式组可得参数的取值范围.
解:设A={x|-1因为p是q的必要条件,所以B?A,
在数轴上标出两集合,如图,当堂检测1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:解x2-2x+1=0得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.“角A=60°”是“三角形ABC是等边三角形”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:角A=60° 三角形ABC是等边三角形,但三角形ABC是等边三角形?角A=60°,所以“角A=60°”是“三角形ABC是等边三角形”的必要不充分条件.故选C.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
解析:若x2+(y-2)2=0,则x=0,y-2=0,所以x(y-2)=0成立;若x(y-2)=0,如x=0,y=3,此时,x2+(y-2)2≠0.故选B.
答案:B
4.“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
解析:由x2-3x+2>0得x>2或x<1,故选A.
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测