第二章等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.(多选)如果x=y,a为有理数,那么下列等式一定成立的是( )
A.1-y=1-x
B.x2=y2
C.
??
??
=
??
??
D.ax=ay
解析A.∵x=y,∴-x=-y.∴-x+1=-y+1,即1-y=1-x,故A一定成立;
B.如果x=y,则x2=y2,故B一定成立;
C.当a=0时,
??
??
=
??
??
无意义,故C不一定成立;
D.由等式的性质可知:ax=ay,故D一定成立.
答案ABD
2.多项式a+5与2a-8互为相反数,则a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析根据题意得a+5+2a-8=0,移项合并得3a=3,解得a=1,故选C.
答案C
3.已知三角形两边长分别为4和7,第三边的长是方程x2-17x+66=0的根,则第三边的长为( )
A.6 B.11
C.6或11 D.7
解析方程x2-17x+66=0,
分解因式得(x-6)(x-11)=0,
解得x=6或x=11,
当x=6时,三边长为4,6,7,符合题意;
当x=11时,三边长为4,7,11,不合题意舍去,
则第三边长为6.
故选A.
答案A
4.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,则m的值应为( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.1
解析∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,
∴m2-4=0且m-2≠0, 解得m=-2.
故选B.
答案B
5.分解因式:(a2+1)2-4a2= .?
解析(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)
=(a+1)2(a-1)2.
答案(a+1)2(a-1)2
6.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽各是多少步?”经计算可得,长 步,宽 步.?
解析设矩形田地长为x步,宽为(x-12)步,
根据题意列方程得x(x-12)=864,
x2-12x-864=0,
解得x1=36,x2=-24(舍).
∴x-12=24.
故答案为:36,24.
答案36 24
7.把下列各式因式分解:(1)4x2-8x+4;(2)(x+y)2-4y(x+y).
解(1)原式=4(x2-2x+1)=4(x-1)2;
(2)原式=(x+y)(x+y-4y)=(x+y)(x-3y).
/能力提升
1.如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),求3A-B的值.
解x2+Ax+B=(x-3)(x+5)=x2+2x-15,得A=2,B=-15.
3A-B=3×2+15=21.
2.解方程:
(1)x2-3x=0;
(2)x(x-1)=0;
(3)(x-1)2=3x-3.
解(1)x(x-3)=0,x=0或x-3=0,
所以x1=0,x2=3;
(2)x=0或x-1=0,所以x1=0,x2=1;
(3)由(x-1)2-3(x-1)=0,
得(x-1)(x-1-3)=0,
即x-1=0或x-4=0,所以x1=1,x2=4.
3.甲商品的进价为每件20元,商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价.已知该商品现价为每件32.4元.
(1)若该商场两次调价的降价率相同,求这个降价率;
(2)经调查,该商品每降价0.2元,即可多销售10件.已知甲商品售价40元时每月可销售500件,若商场希望该商品每月能盈利10 000元,且尽可能扩大销售量,则该商品在现价的基础上还应如何调整?
解(1)设这种商品平均降价率是x,依题意得
40(1-x)2=32.4,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去);
故这个降价率为10%;
(2)设降价y元,则多销售y÷0.2×10=50y件,
根据题意得(40-20-y)(500+50y)=10 000,
解得y=0(舍去)或y=10.
答:在现价的基础上,再降低10元.
课件16张PPT。2.1.1 等式的性质与方程的解集一二知识点一、等式的性质与恒等式
1.思考
(1)下列各式是否正确?
③若x+a=y-a,则x=y;
④若x=y,则ax=by.
(2)什么是立方差与立方和公式?
提示:(1)①正确;②③④错误.
(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).一二2.填空
(1)如果a=b,对任意c,都有a+c=b+c;
(2)如果a=b,对任意不为零的c,都有ac=bc;
(3)a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式);
(4)(x+y)2=x2+2xy+y2(两数和的平方公式).
3.做一做
分解因式:x2+2xy+y2-4= .?
解析:x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).
答案:(x+y-2)(x+y+2)一二知识点二、方程的解集
1.思考
(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2.填空
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
3.做一做
求方程x2+3x+2=0的解集.
解:∵x2+3x+2=0,∴(x+1)(x+2)=0,
∴x=-1或x=-2,∴方程的解集为{-1,-2}.探究一探究二思维辨析当堂检测分解因式
例1分解因式:
(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.
分析:掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.
解:(1)x2-25=(x+5)(x-5);
(2)a2-6a+9=(a-3)2;
(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);
(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
反思感悟 分解因式的常用方法
(1)平方差公式法;
(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;
(4)十字相乘法.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练 1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);
(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.探究一探究二思维辨析当堂检测求方程的解集
例2求方程x(x-2)+x-2=0的解集.
分析:将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.
解:把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
从而,得x-2=0或x+1=0,
所以x1=2,x2=-1.
所以方程的解集为{-1,2}.
反思感悟 因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究 请用公式法求解本例方程的解集.
解:原方程可化为x2-x-2=0,
∴x1=2,x2=-1,
∴方程的解集为{-1,2}.探究一探究二思维辨析当堂检测数形结合思想的应用
典例 二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3).
(1)求出m的值并画出此二次函数的图像.
(2)求此二次函数的图像与x轴的交点及函数图像顶点的坐标.
(3)x取什么值时,函数图像在x轴上方.探究一探究二思维辨析当堂检测解:(1)由二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3),得m=3.
∴二次函数为y=-x2+2x+3.
图像如图所示.
(2)由-x2+2x+3=0,
得x1=-1,x2=3.
∴二次函数图像与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
∴函数图像的顶点坐标为(1,4).
(3)由图像可知:
当-1方法点睛 本题是对二次函数图像和性质的简单应用,要注意把握二次函数图像的特征,尤其是顶点、对称轴和开口方向.探究一探究二思维辨析当堂检测1.下列由等式的性质进行的变形,错误的是( )
B.如果a=3,那么a2=9
C.如果a=3,那么a2=3a
D.如果a2=3a,那么a=3
解析:如果a=3,那么 ,正确,故选项A不符合题意;
如果a=3,那么a2=9,正确,故选项B不符合题意;
如果a=3,那么a2=3a,正确,故选项C不符合题意;
如果a=0时,两边都除以a,无意义,故选项D符合题意.
故选D.
答案:D探究一探究二思维辨析当堂检测2.下列分解因式正确的是( )
A.x2+y2=(x+y)(x-y)
B.m2-2m+1=(m+1)2
C.(a+4)(a-4)=a2-16
D.x3-x=x(x2-1)
解析:A.原式不能分解,错误;
B.原式=(m-1)2,错误;
C.原式=a2-16,正确;
D.原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),错误.
故选C.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测3.若x=3是方程3x-a=0的解,则a的值是( )
A.9 B.6
C.-9 D.-6
解析:把x=3代入方程3x-a=0得9-a=0,
解得a=9.
故选A.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测4.若方程(x-2)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )
A.7 B.2
C.0 D.7或0
解析:由方程(x-2)(3x+1)=0,
可得x-2=0或3x+1=0,
答案:D探究一探究二思维辨析当堂检测5.不论x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立,则a+b= .?
解析:∵不论x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立,
∴x=0时,b=-3,x=1时,a=2,即a=2,b=-3,
∴a+b=2+(-3)=-1.
答案:-1
