2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课后篇巩固提升
夯实基础
1.若0A.无实数根
B.有两个正根
C.有两个根,且都大于-3m
D.有两个根,其中一根大于-m
解析方程整理为x2+7mx+3m2+37=0,
Δ=49m2-4(3m2+37)=37(m2-4),
∵0∴Δ<0,∴方程没有实数根,故选A.
答案A
2.(多选)关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围可以是( )
A.[0,1)
B.(1,+∞)
C.(0,+∞)
D.[0,+∞)
解析∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,
∴m-1≠0,Δ=4+4(m-1)≥0,
解得m≥0且m≠1.
答案AB
3.已知x1,x2是方程x2+5x-2=0的两个根,则x1+x2的值为( )
A.5 B.-5 C.2 D.-2
解析∵x1,x2是方程x2+5x-2=0的两个根,
∴x1+x2=-51=-5.
故选B.
答案B
4.若m,n满足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,则1m+1n的值为( )
A.35 B.-53
C.-35 D.53
解析∵m,n满足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,
∴m,n可看作方程x2+5x-3=0的两个根.
∴m+n=-5,mn=-3,
所以1m+1n=m+nmn=-5-3=53.
故选D.
答案D
5.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,则x12+x22+3x1x2= ,1x1+1x2= .?
解析根据题意得x1+x2=2,x1x2=-5,
x12+x22+3x1x2=(x1+x2)2+x1x2=22+(-5)=-1,
1x1+1x2=x1+x2x1x2=-25.
答案-1 -25
6.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是 .?
解析∵关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2m+3)2-4m2=12m+9>0,
∴m>-34.
∵x1+x2=2m+3,x1·x2=m2,
又∵x1+x2=m2,∴2m+3=m2,
解得m=-1或m=3.
∵m>-34,∴m=3.
答案3
7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是该方程的两个根,且(x1-x2)2的值为12,求k的值.
解(1)由题意可得Δ=4-4(2k-4)>0,
解得k<52;
(2)∵x1,x2为该方程的两个实数根,
∴x1+x2=-2,x1·x2=2k-4,
∵(x1-x2)2=12,∴(x1+x2)2-4x1·x2=12,
∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.
∵k<52,∴k=1符合题意.
能力提升
1.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.
解(1)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,
解得k≤54,实数k的取值范围为k≤54.
(2)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,
解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).
实数k的值为-2.
2.如图, △ABC中,∠C=90°,AC=16 cm,BC=8 cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC边以4 cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,运动时间为t(s).
(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的14,求t的值.
(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
解(1)∵S△PCQ=12×2t(16-4t),S△ABC=12×8×16=64,∴12×2t(16-4t)=64×14,
整理得t2-4t+4=0,解得t=2.
答:当t=2 s时△PCQ的面积为△ABC面积的14;
(2)当△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等,
即当S△PCQ=12S△ABC时,
12×2t(16-4t)=64×12,
整理,得t2-4t+8=0,
Δ=(-4)2-4×1×8=-16<0,
∴此方程没有实数根,∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.
课件20张PPT。2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一二知识点一、一元二次方程的解集
1.思考
什么是一元二次方程?其解的情况如何?
提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程无实根.一二2.填空 一二3.做一做
关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 ( )
A.两个不等的实数根
B.两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,
∴该方程无实数根.
答案:C一二知识点二、一元二次方程根与系数的关系
1.思考
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,其大小如何?并求出x1+x2与x1x2的大小.
(2)解方程x2-x-2=0,你能发现该方程的两根与其系数之间有怎样的关系?一二一二2.填空
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系:
3.做一做
一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为 .?
解析:设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,
答案:2探究一探究二思维辨析当堂检测求一元二次方程的解集
例1求方程x2+5x-2=0的解集.
分析:利用公式法求解一元二次方程的两根.
解:∵x2+5x-2=0,探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟 一元二次方程的常见解法
(2)配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;
②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;
③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
④用直接开平方法解变形后的方程.探究一探究二思维辨析当堂检测(3)因式分解法
①平方差公式法;
②完全平方公式法;
③提取公因式法;
④十字相乘法.
(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究 本例中两根之积为多大? 探究一探究二思维辨析当堂检测一元二次方程根与系数关系的应用
例2已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0.
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析:(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解:(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,
∴方程有两个不相等的实根.
(2)设方程的另一个根为x2,
∴-1×x2=-3,解得x2=3.
∵-1+3=m,
∴m=2.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟 一元二次方程根的情况
1.一元二次方程的判别式
方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2,则有:
(2)以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练 已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.探究一探究二思维辨析当堂检测整体代入法求代数式的值
典例 若a是方程x2+x-2 019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值是 .?
解析:∵a是方程x2+x-2 019=0的根,
∴a2+a-2 019=0,即a2+a=2 019.
∴2a2+2a-1=2×2 019-1=4 037.
答案:4 037
方法点睛 根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2 019,然后利用整体代入法计算即可,而不需求出方程的根.探究一探究二思维辨析当堂检测1.下列方程中,无实数根的方程是( )
A.x2+1=0 B.x2+x=0
C.x2+x-1=0 D.x2=0
解析:A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程无实数根;
B.∵Δ=12>0,∴方程有两个不相等实数根;
C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有两个不相等实数根;
D.∵Δ=0,∴方程有两个相等实数根.
故选A.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤3且m≠2 B.m<3
C.m≤3 D.m<3且m≠2
解析:∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
故选A.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测3.已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1,x2,则x1x2的值为( )
A.2 B.-2C.1 D.-1
故选D.
答案:D
解析:∵x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,
答案:-1 3探究一探究二思维辨析当堂检测5.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个实数根是5,求此方程的另一个根.
解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2.
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,
∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
