2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.(多选)若x>1>y,则下列不等式成立的是( )
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析∵x>1>y,∴x+(-1)>y+(-1),即B正确;x+(-y)>1+(-y),即C正确;1+(-x)>y+(-x),即D正确.
答案BCD
2.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是0( )
A.a+c>b+d B.a-c>b-d
C.ac>bd D.
??
??
>
??
??
解析可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0,故A正确.
答案A
3.要证
3
a
?
3
??
<
3
??-??
成立,a,b应满足的条件是( )
A.ab<0且a>b
B.ab>0且a>b
C.ab<0有a
D.ab>0且a>b或ab<0且a解析要证
3
??
?
3
??
<
3
a-b
,只需证(
3
??
?
3
??
)3<(
3
a-b
)3,即证a-b-3
3
a
2
??
+3
3
??
??
2
3
a
??
2
<
3
a
2
??
,只需证ab20且b-a<0或ab<0,且b-a>0.故选D.
答案D
4.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元.则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较,结果是( )
A.2枝牡丹花贵 B.3枝月季花贵
C.相同 D.不确定
解析设牡丹花和月季花的价格分别为x,y,则4x+5y<22,6x+3y>24,而2枝牡丹花和3枝月季花的价格之差为2x-3y,设2x-3y=m(4x+5y)+n(6x+3y)=(4m+6n)x+(5m+3n)y,则4m+6n=2,5m+3n=-3,所以,m=-
4
3
,n=
11
9
,即2x-3y=-
4
3
(4x+5y)+
11
9
(6x+3y)>-
4
3
×22+
11
9
×24=0,所以2x-3y>0,即2x>3y,2枝牡丹花贵.
答案A
5.下列四个不等式:①a<00;⑥a1
??
<
1
??
成立的是 .?
解析因为
1
??
<
1
??
?
??-??
????
<0?b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都满足条件.
答案①②④⑤⑥
6.已知三个不等式:①ab>0;②-
??
??
<-
??
??
;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成 个正确命题.?
解析(1)
????>0,
-
??
??
<-
??
??
?bc>ad.
∵-
??
??
<-
??
??
,∴
??
??
>
??
??
.
又ab>0,∴ab·
??
??
>ab·
??
??
,即bc>ad.
(2)
????>0,
????>????
?-
??
??
<-
??
??
.
∵ab>0,∴
1
????
>0.
又bc>ad,∴
1
????
·bc>
1
????
·ad,即
??
??
>
??
??
.
∴-
??
??
<-
??
??
.
(3)
????>????,
-
??
??
<-
??
??
?ab>0.
∵-
??
??
<-
??
??
,
∴
??
??
?
??
??
>0,即
????-????
????
>0.
又bc>ad,∴bc-ad>0.∴ab>0.
答案3
7.已知a>b>0,比较
??
3
-
??
3
??
3
+
??
3
与
??-??
??+??
的大小.
解∵a>b>0,∴a-b>0.∵
??
3
-
??
3
??
3
+
??
3
?
??-??
??+??
=(a-b)·
??
2
+????+
??
2
??
3
+
??
3
-
??
2
-????+
??
2
??
3
+
??
3
=
2????(??-??)
??
3
+
??
3
,
∴
2????(??-??)
??
3
+
??
3
>0.
∴
??
3
-
??
3
??
3
+
??
3
?
??-??
??+??
>0,即
??
3
-
??
3
??
3
+
??
3
>
??-??
??+??
.
/能力提升
1.如果[x]表示不超过x的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1],且a≤b≤c,那么实数m的取值范围是 .?
解析根据定义,可知a=-4,c=7,所以-4≤b≤7,再根据定义知,m最小为-4,最大值不能达到8,因此m的取值范围是-4≤m<8.
答案-4≤m<8
2.若a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,试比较a,b,c三个实数的大小.
解∵b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c.
由题意可得方程组
??+??=3
??
2
-4??+6,
??-??=
??
2
-4??+4.
解得b=2a2-4a+5,c=a2+1.
∴c-a=a2+1-a=
??-
1
2
2
+
3
4
>0,
∴c>a,故b≥c>a.
3.已知x>0,y>0,且x+y>2.
求证:
1+??
??
,
1+??
??
中至少有一个小于2.
证明假设
1+??
??
,
1+??
??
都不小于2,
即
1+??
??
≥2,
1+??
??
≥2.
∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.
∴2+x+y≥2(x+y),
即x+y≤2,与已知x+y>2矛盾.
∴
1+??
??
,
1+??
??
中至少有一个小于2.
课件32张PPT。2.2.1 不等式及其性质一二知识点一、不等关系与不等式
填空:
(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.(2)不等式的定义:含有不等号的式子. 三四一二知识点二、实数大小的比较
1.思考
怎样比较a2+b2与2ab的大小关系?
提示:(作差法)
∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab.三四一二2.填空:
(1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系.
①数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下:三四一二(2)比较两个实数的大小. 三四一二答案:C 三四一二三四知识点三、不等式的性质
1.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么a+c>b+c;
(2)性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;
(3)性质3:如果a>b,c<0,那么ac(4)性质4:如果a>b,b>c,那么a>c.
(5)性质5:a>b?b2.不等式的性质的推论
(1)推论1:如果a+b>c,则a>c-b;
(2)推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;
(3)推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
(4)推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1);一二三四3.利用不等式性质应注意哪些问题?
提示:在使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意.
4.做一做
已知a≥b,可以推出( )
解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.
答案:B一二三四5.做一做
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)若a>b,cb-d.( )
(2)若a>b,则1a<1b.( )
(3)若a>b>0,c>d>0,则ad>bc.( )
(4)已知a>b,e>f,c>0,则f-ac答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√一二三四知识点四、直接证明与间接证明
1.直接证明
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q一二三四(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显 成立的条件
2.间接证明
反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.一二三四答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析应用不等式的性质证明不等式 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟证明不等式的解题策略
1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
3.除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差比较法、作商比较法、分析法等.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析利用不等式的性质求范围
例2 (1)已知-6(2)已知函数f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
(1)答案:(-10,19) (-9,6)当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟利用不等式的性质求代数式的范围要注意的问题
1.恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.
2.运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,切不可用似乎是很显然的理由,代替不等式范围的求解.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究在本例2(1)条件下,求ab和 的取值范围.
解:(1)因为-6所以①当0≤a<8时,0≤ab<24,
②当-6由①②知-18(2)因为-6例3设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)
证明:方法一:(综合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,
所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
方法二:(分析法)要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,
只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,
∵a≥b>0,
∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,
∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,
∴原不等式得证.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 分析综合法的解题思路
分析综合法的解题思路是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:a≠b且a≥0,b≥0 当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析不等式性质的实际应用
例4 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于 ,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究现有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为a2,C,D的底面积均为b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.现在规定一种游戏规则:每人一次从四种容器中取两个,盛水总和多者为胜.请研究对于先取者是否有必胜的方案?如果有,有几种?
分析:通过建立起问题的数学模型,可以发现其实质就是比较其中两个容器的容积之和与另外两个容器的容积之和的大小关系.为此,需先计算出A,B,C,D四个容器的容积,再运用作差比较法进行比较大小.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:设A,B,C,D四个容器的容积依次为VA,VB,VC,VD.
由题意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.
将A,B,C,D两两一组进行比较有下列三种可能:
(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,
(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)·(a2+b2),
(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)·(a-b)2.
由题设知,a>0,b>0,a≠b,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判断其大于0,而其他两组结果的正负依赖于a,b的取值.a>b时为正,a因此,先取A,D者必胜,并且答案是唯一的.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析作差(商)法比较大小
典例 (1)已知a>0,试比较a与 的大小.
(2)已知x∈R,m∈R,比较x2+x+1与-2m2+2mx的大小.
分析:(1)本题需要分类讨论.
(2)分别把“x2+x+1”与“-2m2+2mx”视为整体,利用作差比较法进行比较.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析方法点睛 作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法,但是它们又有各自的适用范围,对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决.
(1)一般实数大小的比较都可以采用作差法,但是我们要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解,配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系的式子.
(2)作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子的大小的比较.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知a<0,-1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
解析:本题可以根据不等式的性质来解,由于-10,易得答案D.本题也可以根据a,b的取值范围取特殊值,比如令a=-1,b=- ,也容易得到正确答案.
答案:D
2.设a,b,c∈R,且a>b,则( )解析:选项A中c有可能为负值或零,故错误;选项B中当a>0,b<0时错误;选项C中当b答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.已知a<0,-1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
解析:本题可以根据不等式的性质来解,由于-10,易得答案D.本题也可以根据a,b的取值范围取特殊值,比如令a=-1,b=- ,也容易得到正确答案.
答案:D
4.设a,b,c∈R,且a>b,则( )
C.a2>b2 D.a3>b3
解析:选项A中c有可能为负值或零,故错误;选项B中当a>0,b<0时错误;选项C中当b答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的大小关系是 .?
解析:m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0.
答案:m≥n