2.2.3 一元二次不等式的解法
课后篇巩固提升
夯实基础
1.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则?UA=( )
A.? B.{2} C.{5} D.{2,5}
解析由题意知集合A={x∈N|x≥5},则?UA={x∈N|2≤x<5}={2},故选B.
答案B
2.(多选)下列各项可以作为不等式1x-1>x+1的解集的子集的是( )
A.{x|x<-3} B.{x|x>5}
C.{x|x<-2} D.{x|1
答案ACD
3.不等式-x2+23x+13≤0的解集是( )
A.x-13≤x≤1
B.xx≥1或x≤-13
C.xx≥13或x≤-13
D.x-1≤x≤13
解析∵-x2+23x+13≤0,∴x2-23x-13≥0,即(x-1)x+13≥0,解得x≤-13或x≥1,故选B.
答案B
4.已知关于x的方程|x|-k(x+1)=0有正实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≥1 B.k≤-1
C.k>1或k<-1 D.0解析由题意可知,(1-k)x=k,显然k≠1. 由k1-k>0,得0答案D
5.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=xx+1x-2≥0,则A∩(?RB)= .?
解析由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.
∴A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],
由x+1x-2≥0,得x≤-1或x>2.
∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则?RB=(-1,2],
∴A∩(?RB)=(-1,1].
答案(-1,1]
6.据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都受到影响(如图所示).从现在开始 h后,该码头将受到热带风暴的影响,影响时间大约为 .?
解析设风暴中心坐标为(a,b),则a=3002,所以(3002)2+b2<450,
即-150而3002-15020=152(22-1),30020=15,
所以经过152(22-1)h码头将受到风暴的影响,影响时间为15 h.
答案152(22-1) 15 h
7.某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加费,为了既增加国家收入,又有利于活跃市场,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问:
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的范围.
(2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值?
(3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值?
解设税率为P%,则销售量为(80-10P)万件,
即f(P)=80(80-10P),
税金为80(80-10P)·P%,
其中0(1)由80(80-10P)·P%≥96,0(2)∵f(P)=80(80-10P)(2≤P≤6)为减函数,
∴当P=2时,f(2)=4 800(万元).
此时厂家获得最大的销售金额.
(3)∵0∴当P=4时,每年税收金额最高,为128万元.
能力提升
1.使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.-2C.-2解析由x2-x-6<0得(x+2)(x-3)<0,得-2答案A
2.不等式(x2-2x-3)(x2+2)<0的解集是( )
A.{x|-13}
C.{x|0解析不等式(x2-2x-3)(x2+2)<0等价于(x2-2x-3)<0,即(x-3)(x+1)<0?-1答案A
3.如果对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是( )
A.32,152 B.[2,8] C.[2,8) D.[2,7]
解析由4[x]2-36[x]+45<0,得32<[x]<152.又[x]表示不大于x的最大整数,得2≤x<8.
答案C
4.解下列不等式:
(1)x4-x2-2≥0;
(2)2x-x>1.
解(1)由题意,可得不等式x4-x2-2=(x2-2)(x2+1)≥0,解得x2≥2,
解得x≤-2或x≥2,即不等式的解集为{x|x≤-2或x≥2};
(2)设t=x≥0,则不等式2x-x>1,可化为2t2-t-1>0,
解得t>1或t<-12(舍去),即x>1,解得x>1,即不等式的解集为{x|x>1}.
5.已知函数f(x)=x2ax+b(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<(k+1)x-k2-x.
解(1)将x1=3,x2=4分别代入方程x2ax+b-x+12=0得93a+b=-9,164a+b=-8.
解得a=-1,b=2.所以f(x)=x22-x(x≠2).
(2)不等式即为x22-x<(k+1)x-k2-x,
可化为x2-(k+1)x+k2-x<0,
即(x-2)(x-1)(x-k)>0.
①当1②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解集为x∈(1,2)∪(2,+∞).
③当k>2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).
综上所述,关于x的不等式的解集为
x∈(1,k)?(2,+∞),12.
课件21张PPT。2.2.3 一元二次不等式的解法一二三知识点一、一元二次不等式的概念
1.填空
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.一二三2.下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?
(1)ax2>0;(2)x3+5x-6≥0;(3)-x-x2≤0;
(4)x2>0;(5)mx2-5y>0;(6)ax2+bx+c≤0;一二三提示: 一二三知识点二、因式分解法解一元二次不等式
1.填空
一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).
2.做一做
不等式-6x2-x+2≤0的解集是( )
解析:∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,即(2x-1)(3x+2)≥0,
答案:B一二三知识点三、配方法解一元二次不等式
1.填空
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为
(x-h)2>k或(x-h)22.做一做
解不等式:7+6x-x2≥0.
解:由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,
即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,
即(x-3)2≤16,
两边开平方,得|x-3|≤4,
从而可知-4≤x-3≤4,
即-1≤x≤7.
所以原不等式的解集为[-1,7].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的概念
例1①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 .(请把正确的序号都填上)?
解析:①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.
答案:①②⑥探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 1.形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式.
2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.
3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的解法
例2解下列不等式:
(1)-2x2-x+6≥0;
(2)x2+x+1>0;
(3)(3x-1)(x+1)>4.
分析:(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 一元二次不等式的解题策略
1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适应于解决一类特殊的不等式;
2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2(1)x2-4x-5≤0;探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分式不等式的解法 答案:(1)A (2)(-∞,-1)∪(3,+∞) 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用分类讨论思想解含参不等式
分析:转化原不等式为(x-a)(x-a2)<0;讨论a2与a的大小,解不等式(x-a)(x-a2)<0即可.
解:原式可化为(x-a)(x-a2)<0,则所对应的方程的两个根为x=a,x=a2,
当a1时,a当a=a2时,即a=0或a=1时,x∈?;
当a>a2时,即0方法点睛 本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法,运用分类讨论思想求解时,要注意分类的标准要恰当,同时应做到不重不漏的原则.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练 解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.
解:由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,
①当a=-2时,不等式的解集是R;
②当a>-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);
③当a<-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.不等式x2+5x-6>0的解集是( )
A.{x|x<-2或x>3} B.{x|-2C.{x|x<-6或x>1} D.{x|-6解析:∵x2+5x-6>0,∴(x-1)(x+6)>0.∴x>1或x<-6,故选C.
答案:C
2.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|-1A.{x|-12}
C.{x|01}
解析:由题意可得A={x|0答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.不等式4-x2≥0的解集是( )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.[-2,2] C.[2,+∞) D.(-∞,2]
解析:根据题意,4-x2≥0?x2≤4?|x|≤2?-2≤x≤2,即不等式4-x2≥0的解集是[-2,2],故选B.
答案:B
A.[-2,1] B.(-2,1]
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-2]∪(1,+∞)
解得-2答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.解下列不等式.
(1)x2-4x+3≤0;
解:(1)x2-4x+3≤0,
即(x-3)(x-1)≤0,
解得1≤x≤3.
所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}.