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数学 九年级上册 北师大版
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程问题15x-15=0这是一个什么样的方程？ 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式
方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown） 认识一元二次方程问题 2大明休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳池，
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减少相同的长度，问减少多少米？解：设减少x米，则长为(10-x)米，宽为(6-x)米(10-x)(6-x)=35x2-16x+25=0这个方程与以前所学的一元一次方程有什么异同？想一想610xx10-x6-x相同点：方程两边都是整式;都含有一个未知数不同点：方程①中的未知数x最高次是1次
方程②中的未知数x最高次是2次方程x2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的定义一元二次方程要素①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次试一试1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?x2 + -3=0
(2)x3-x+4=0
(3) x2 -2y-3=0
(4) –5y2 ＋3y +1=0
(5) 2x2=0
(6)4x2＋3x-2=(2x-1)2(不是)(不是)(不是)( 是 )( 是 )(不是 )为什么第6小题不是呢?4x2＋3x －2=(2x-1)2你是怎么解这题的?4x2＋3x －2=4x2-4x+1(完全平方公式)4x2—4x2＋3x +4x=1+2(移项)(合并同类项)7x =3一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为, ax2+bx+c=0 的形式,我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零？当a=0时bx+c=0当a≠0，b=0时ax2+c=0当a≠0，c=0时ax2+bx=0当a≠0，b=0,c=0时ax2=0只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中ax2说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须
先将方程化为一般形式。
bxc二次项
一次项常数项二次项系数
一次项系数ab例题分析 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数及常数项。解: 去括号，得3x2-3x=2x-4-4 移项，合并同类项，得方程的一般形式：3x2-5x+8=0它的二次项系数是3，
一次项系数是-5，常数项是8已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0,它是一元二次方程吗？解：根据一元二次方程的定义,
只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？1. 一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数；
一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。课件9张PPT。教学课件
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第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程开心练一练： (1) (2)2、下列方程能用直接开平方法来解吗?1、用直接开平方法解下列方程:静心想一想：(1)(2)(3)能否把(3)转化成(x+b)2=a(a≥0)的形式呢?(1)(2)(3)=( + )2=( )2=( )2左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.右边:所填常数等于一次项系数的一半.填上适当的数或式,使下列各等式成立.大胆试一试：共同点： ( )2=( )2(4)观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系?(1)(2)的结论适合于(3)吗? 适用于(4)吗?现在你会解方程 吗?把常数项移到方程右边得：两边同加上 得： 即两边直接开平方得：解:∴原方程的解为如何配方?例1: 用配方法解方程解:配方得：开平方得：移项得：∴原方程的解为：一次项系数变为负又如何配方呢?例2: 你能用配方法解方程 吗？解:配方得：开平方得：移项得：∴原方程的解为：化二次项系数为1得：想一想用配方法
解一元二次方程
一般有哪些步骤?1、用配方法解下列方程:2、用配方法将下列式子化a(x+h)2+k的形式。 (1)x2+8x-15=0(2)x2-5x-6=0(3)2x2-5x-6=0(4) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0) (3) -3x2-2x+1 (2) x2-x+1 (1) y2+y-2（2）移项（3）配方（4）开平方（5）写出方程的解2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。(1)化二次项系数为1小结课件14张PPT。教学课件
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第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程公式法是这样产生的你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法老师提示用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.当 时，方程有实数根吗？例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=01.变形:化已知方程为一般形式;3.计算: b2-4ac的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.2.确定系数:用a, b,c写出各项系数;例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49即 x1= - 3 x2=求根公式 : X=(a≠0, b2-4ac≥0)解：a= ，b= ，c = . b2-4ac= = .
x= = = .
即 x1= , x2= .
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 21-612-4×2×(-6)49-2求根公式 : X=(a≠0, b2-4ac≥0) a= ，b= ，c = .
b2-4ac= = .
x= = = .
即 x1= , x2= .
例3：用公式法解方程x2+4x=2 14-242-4×1×(-2)24解：移项，得 x2+4x-2=0这里的a、b、c的值是什么？3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。用公式法解一元二次方程的一般步骤：4、写出方程的解： x1=?, x2=?例4解：思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解关于一元二次方程，当a，b，c满足什么条件时，方程的两根互为相反数？解：已知方程求c和x的值.小结３.最后代入公式１.先写出a，b，c２.再求出课件13张PPT。教学课件
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第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学目标1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。 2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。 重点 难点重点：用因式分解法解一元二次方程
难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式）用因式分解法求解一元二次方程自学检测题1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么?4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？因式分解主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2因式分解法解方程:4x2=9解：移项，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：(1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
(2)将方程的左边分解因式；
(3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。填空：
（1）方程x2+x=0的根是 ；（2）x2－25=0的根是 。 x1=0,x2=-1x1=5,x2=-5例1 解下列一元二次方程：
(3x－4)2=(4x－3)2.解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,
即 (7x-7) (-x-1)=0.
∴7x-7=0,或 -x-1=0.
∴x1=1, x2=-1
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2(5)用因式分解法解下列方程：练一练1.解方程 x2－2√3x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 练一练因式分解法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程。
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例1这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.课堂小结课件15张PPT。教学课件
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第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x=(b2-4ac≥ 0)一元二次方程根与系数的关系1.???? 填表，观察、猜想 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。 如果关于x的方程的两根是 , ,则:根与系数的关系如果方程二次项系数不为1呢?
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= - , x1x2= 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+== -X1x2=●===例 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得2x1＝3k 即 2 x1 ＝－6∴ x1 ＝－3答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。练习已知关于x的方程当m= 时,此方程的两根互为相反数.当m= 时,此方程的两根互为倒数.－11练习
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x , y则:{解得:x=2
y=－1{或 ｘ＝－1
y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得∴两数为2,－１ 已知两个数的和与积，求两数 拓展：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△=即m>0
m-1<0∴0x1x2＜0两个正根△≥0
x1x2＞0
x1+x2＞0两个负根△≥0
x1x2＞0
x1+x2＜0{{{小结：归纳小结：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。课件20张PPT。教学课件
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第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）1．分析平均变化率问题的数量关系 问题1 思考，并填空： 1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为 _____________ kg， 第三年的产量为____ __________ kg． 2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是_________．2014 年的产量将是__________． 问题: 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
两年后：
变化后的量 =变化前的量两年前生产1 t 甲种药品的成本是5 000元，生产1 t 乙种药品的成本是6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产1 t 甲种药品的成本是3 000 元，生产1 t 乙种药品的成本是3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？2．解决实际问题乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 ) ÷ 2 = 1 200（元）．甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000 ) ÷ 2 = 1 000（元）， 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 解方程，得x1≈0.225， x2≈1.775． 5 000 (1 - x) 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%．两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？4．归纳小结“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．例：雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？分析：今年到后年间隔2年，
今年的营业额×（1+平均增长率)2 =后年的营业额。 答：平均每年的增长20%.解：平均每年增长的百分率为x,根据题意得：小结类似地,这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为:1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm,即x2-10x+30=0这里 a=1,b=－10,c=30,∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.面积问题2.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.解:(1)如图，设道路的宽为x 米， 化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.如图，设路宽为x米，草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
