北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)（含答案）

用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）
【学习目标】
1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；
2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；
3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.
【要点梳理】
要点一、基本作图1.尺规作图的定义
利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
要点诠释：　　尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.
2.常见基本作图
常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.
要点诠释：
1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.
要点二、三角形全等的实际应用
在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.
【典型例题】
类型一、基本作图
1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．
（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）
已知：
求作：
结论：
【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．
【答案与解析】
解：已知：线段a、b，
求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．
【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．
举一反三：
【变式】（2019?魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）
　 A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B． 以点C为圆心，DM为半径的弧
　 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D． 以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D．
类型二、作三角形
2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）
已知：
求作：
【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．
【解析】
解：已知：∠α，线段a，b，
求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，
如图所示，△ABC即为所求作的三角形．
【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．
举一反三：
【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）
已知：
求作：
结论：
【答案】
解：已知：∠α，线段b；
求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．
结论：如图，△ABC为所求．
类型三、三角形全等的实际应用
3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．
【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．
【答案与解析】
解：能．
证明：连接EF
∵AB∥CD，（已知）
∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．
∵M是BC中点
∴BM=CM，
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM（SAS）．
∴CF=BE（对应边相等）．
【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．
举一反三
【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（　　）
A．边角边　　　B．角边角　　C．边边边　　D．边边角
【答案】B.
4、（2019春?芦溪县期末）为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？
【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．
【答案与解析】
解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=52°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=33，PB=8，
∴AB=33﹣8=25（m），
答：楼高AB是25米．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
举一反三
【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　）
A.第4块 B. 第3块 C. 第2块 D.第1块
【答案】C.
【巩固练习】
一.选择题
1．尺规作图是指（　　）
A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图
C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图
2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．（2019春?滕州市期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（　　）
A．SAS B．HL C．AAS D．ASA
二.填空题
7．（2019春?太原校级月考）小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若只带一块配成原来一样大小的三角形，则应该带第 块．
8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是　 　．
9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是
.
10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．
作法：（1）作一条线段AB=　 　；
（2）分别以　 　、　 　为圆心，以　 　为半径画弧，两弧交于C点；
（3）连接　 　、　 　，则△ABC就是所求作的三角形．
11．作图题的书写步骤是 、 、 ， 而且要画出 和结论，保留 ．
12．（2019?淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是　　．
三.解答题：
13．（2019?陕西模拟）如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）
14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．
15．（2019秋?南江县校级期中）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】C；
【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．
2．【答案】B；
【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，
∴OA′=OB，OB′=OA，
∵∠AOB=A′OB′，
∴△AOB≌△A′OB′．
所以AB的长等于内槽宽A'B'，
用的是SAS的判定定理．
3．【答案】D；
【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．
故选D．
4．【答案】C；
【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C.
5．【答案】D；
【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理作出完全一样的三角形．故选D．
6．【答案】C ；
【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可．
二.填空题
7．【答案】2；
【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
8．【答案】2a+2b；
【解析】△DEH和△DFH中
ED=FD，∠EDH=∠FDH，DH=DH
∴△DEH≌△DFH
∴EH=FH=b
又∵ED=FD=a，EH=b
∴该风筝的周长=2a+2b.
9．【答案】SAS；
【解析】 用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．
10．【答案】a；A；B；2a；AC，BC；
【解析】作法：（1）作一条线段AB=a；
（2）分别以A、B为圆心，以 2a为半径画弧，两弧交于C点；
（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．
11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；
【解析】作图题的书写步骤是 已知、求作、作法，而且要画出 图形和 结论，保留 作图痕迹．
12. 【答案】75°．
【解析】如图，
∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠B=30°，
∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.
三.解答题
13. 【解析】
解：如图：
14.【解析】
解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．
15. 【解析】
证明：在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE=∠COE，
同理∠COE=∠FOD，
∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．