湘教版九年级上册 4.4《解直角三角形的应用》【同步练习】（解析版）

《解直角三角形的应用》同步练习
1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为( )
A.a B.2a C. D.

图28.2－21 图28.2－22 (第3题)
2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是( )
A.米 B.米 C.米 D.6米
3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
4.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为( )
A.1 200米 B.2 400米 C.米 D.米

图28.2－29 图28.2－30 图28.2－31
5.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )
A.72 m B.36 m C.36 m D. m
6.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )
A.1 732米 B.1 982米 C.3 000米 D.3 250米
7.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________。

图28.2－23 图28.2－24
8.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高)。
9.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)
图28.2－25
10.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数)。
图28.2－26
11.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长。(结果精确到0.01米)
图28.2－27
12.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
图28.2－28
13.某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)。
图28.2－32
14.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时?的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向。问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
图28.2－33
15.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD。
图28.2－34
16.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E→D→A→B;
方案二：E→C→B→A。
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。
已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。
(1)求出河宽AD(结果保留根号)；
(2)求出公路CD的长；
(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由。
图28.2－35
参考答案
1.思路解析：直接用等腰直角三角形的性质。
答案：B
2.思路解析：坡度的定义，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶。
答案：B
3.思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=。
所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3。
答案：B
4.思路解析：∠ABC=α，解直角三角形。
答案：B
5.思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答。
答案：C
6.思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出。
如图，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，
因为tanM=，所以OP=OM×tan30°=3 000×≈1 732(米)。
答案：A
7.答案：5
8.思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°。
答案：90°
9.思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长。
解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，
所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2 (米)。
答：树的高度AB约为5.2米。
10.思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解。
解：作CD⊥AB，垂足为D.设气球离地面的高度是x米。
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x。
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=。
因为AB=AD－BD，所以20=x－.解得x≈47.3(米)。
答：气球离地面的高度约是47.3米。
11.思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系。
解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD。
因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED。
在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，
在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，
所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，
即AD≈10+20×1.414=38.28(米)。
12.思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形。
解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：
作CH⊥AB，垂足为H。
在Rt△CDF中，I=，所以DF= CF=×2=1(米)。
所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米)。
在Rt△AHC中，tan∠ACH=，
所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米)。
因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米)。
因为BE=BD－DE=14－2=12(米)，10.7<12，
所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上。
13.思路解析：根据图形，构造直角三角形。
解：如图，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F。
由条件，得CF=0.8 m，BF=0.9 m。
在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m)。
∴AB=AF－BF=5－0.9=4.1(m)。
答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1 m。
14.思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁。
解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知: AB=9×=3。
∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°，
∴PC=BC。
在Rt△PAC中，∠PAB=90°－60°=30°，
∴tan30°=，
即.∴。
∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险。
15.思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形。
解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F。
∵∠BAC=30°，AB=1 500米，
∴BF=EC=750米，AF=米。
设FC=x米，
∵∠DBE=60°，∴DE=米。
又∵∠DAC=45°，∴AC=CD，
即+x=750+米.得x=750。
∴CD=(750+)米。
答：山高CD为(750+)米。
16.方案一：E→D→A→B;
方案二：E→C→B→A。
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。
已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。
(1)求出河宽AD(结果保留根号)；
(2)求出公路CD的长；
(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由。
思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。
解：(1)如图，经过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°。
所以AD=110(千米)。
由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响。
(2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
。
所以EF= (千米)。
因为该台风中心以15千米／时的速度移动。
所以这次台风影响该城市的持续时间为 (小时)。
(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为(级)。