【华师大版九年级上册进阶培优训练】第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版九年级上册进阶培优训练】第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-07 22:01:57 | ||
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文档简介
第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导
【基础知识回顾】
知识点一、一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程定义：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程。
2、一元二次方程的一般形式:_______________(a≠0).其中ax2是________，______是二次项系数；bx是______，___是一次项系数；___是常数项。
3 、一元一次方程的解: 使一元二次方程两边_________的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；
（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
常用的两个结论是：
①a＋b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为________；
②a－b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为________;若c=0呢?
【经典例题】
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例2、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，－6，9 C．2，－6，－9 D．－2，6，9
例3、关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D.
【培优特训】
1、若x＝1是方程的解，则（ ）
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
2、 若方程是关于x的一元二次方程，则m＝_______.
3、 当m＝______时，关于x的方程是一元二次方程。
4、若一元二次方程有一个根为x＝－1，则a＋b＝__________
5、已知关于x的方程
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
知识点二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果( )，则= ， = ， = 。
练一练(1)(2x+1)2=25； (2) 4(2x+1)2-36=0 ； (3)；(4)81(x-2)2=16 ；
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根.
练一练
解方程：(1)3x(x－2)＝2(x－2) (2) x2－4x＋4＝(2－3x)2． (3) *x2－3x－28＝0．
3、配方法：解法步骤：
①化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数；
②移项：把 项移到方程的 边；
③配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式；
④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
练一练：
1．用配方法解方程应该先把方程变形为 ( )
(A) ( B) (C) (D)
2．配成完全平方式需加上 ( )．
(A)1 (B) (C) (D)
3．若x2＋px＋16是一个完全平方式，则p的值为 ( )．
(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16
4.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，其配方正确的是 ( )．
(A) (B)
(C) (D)
5.用配方法解下列方程（1） （2）
4、公式法：如果方程满足 ，则方程的求根公式为
练一练：
用公式法解下列方程（1） （2） （3）
综合应用：用适当的方法解下列方程：
⑴ 4 ⑵ x2－2x－99 ＝0 ⑶2x2－7x＋6＝0 (4)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
※：解方程中常见思想方法
常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1.试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。
变式:（1）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
（2）已知，，则的值 ( )
A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数
（3）已知为实数，则 的值为_____。
（4） 已知实数满足，则代数式的最小值等于 .
（5）*已知，则的值为_____。
（6）**已知实数满足，则的最大值为_____。
（7）**已知，满足，， ，则的值等于_____。
例2：分类讨论的思想
解方程x2－|x－1|－1=0.
解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.
解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.
（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.
解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.
综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．
换元的思想
阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①解得，
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解为，，，
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
解方程． （选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
培优同步检测A
1、 设方程，当 时，是一元一次方程；
当 时，是一元二次方程。
2、 已知是一元二次的解，则=_______;
3、若n﹙n≠0﹚是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n的值 。
4、 若是方程的一个根，则 。
5、 若方程有一个根为0，则 。
6、已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
7、如果对于任意两个实数、，定义，解方程：，可得 。
8、（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
9、如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （ ）
A．1 B. ±1 C. 2 D. ±2
10、配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为﹙ ﹚
A. ﹙x－3﹚2＝ B .3﹙x－1﹚2＝ C . ﹙3x－1﹚2＝1 D.﹙x－1﹚2＝
11、下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B.
C． D.
12、已知x2＋y2－2x＋4y＋5=0,则2x＋y的值是﹙ ﹚
A . 0 B . 2 C . 4 D. 5
13、已知方程的一个正根为，求+的值。
14、解关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
培优同步检测B
若(m－1)x2＋＝4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。．
2. 解方程，则 。
3. 已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值 。
4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
5.设a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a＋＝
6.已知，则的值是 。
7. 已知是正整数，方程，当时，两根为、；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。
8.已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。
9.方程﹙x2＋x－1﹚x+3＝1的所有整数解的个数是﹙ ﹚
A . 2 B . 3 C . 4 D. 5
关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
10.已知方程x2＋bx＋a＝0有一根是－a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙ ﹚
A . ab B . C . a＋b D.a－b
11.用配方法证明：无论x取何实数，代数式的值不小于10。
12**、已知两个不相等的实数m，n满足3m2＋2024m＋1＝0，n2＋2024n＋3＝0，且mn≠1，试求的值.
第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导答案
【基础知识回顾】
知识点一、一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程定义：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是2 的 整式 方程。
2、一元二次方程的一般形式:____ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚.其中ax2是_二次项_______，___a___是二次项系数；bx是_一次项_____，__b_是一次项系数；__c_是常数项。
3 、一元一次方程的解: 使一元二次方程两边__相等_______的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；
（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
常用的两个结论是：
①a＋b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为x=1；
②a－b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为x=－1;若c=0呢?（则x=0）
【经典例题】
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例2、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ C ）
A．6，2，9 B．2，－6，9 C．2，－6，－9 D．－2，6，9
例3、关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ B ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D.
【培优特训】
1、若x＝1是方程的解，则（ C ）
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
2、 若方程是关于x的一元二次方程，则m＝_____2_____
3、 当m＝__-3______时，关于x的方程是一元二次方程。
4、若一元二次方程有一个根为x＝－1，则a＋b＝__2018________
5、已知关于x的方程
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：（1）
一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是-（m+1）及常数项是m．
知识点二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果( a≠0 )，则= ， = ， = 。
练一练(1)(2x+1)2=25； (2) 4(2x+1)2-36=0 ； (3)；(4)81(x-2)2=16 ；
答案：(1)=2， =-3 (2)=1， =-2 (3)=-5， = (4)=， =
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个 一元一次 方程，即 A=0 、 B=0 从而得方程的两根.
练一练解方程：(1)3x(x－2)＝2(x－2) (2) x2－4x＋4＝(2－3x)2． (3) *x2－3x－28＝0．
答案：(1)=2， = (2)=0， =1 (3)=-4， =7
3、配方法：解法步骤：
①化二次项系数为 1 即方程两边都 除以 二次项系数；
②移项：把 常数 项移到方程的 右 边；
③配方：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 把左边配成完全平方的形式；
④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
练一练：
1．用配方法解方程应该先把方程变形为 ( C )
(A) ( B) (C) (D)
2．配成完全平方式需加上 ( C )．
(A)1 (B) (C) (D)
3．若x2＋px＋16是一个完全平方式，则p的值为 ( C )．
(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16
4.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，其配方正确的是 ( A )．
(A) (B)
(C) (D)
5.用配方法解下列方程（1） （2）
答案：(1)=， = (2)=， =
4、公式法：如果方程满足 ，则方程的求根公式为 X=
练一练：
用公式法解下列方程（1） （2） （3）
答案：(1)=， =
答案：(2)=， =
答案：(3)=， =
综合应用：用适当的方法解下列方程：
⑴ 4 ⑵ x2－2x－99 ＝0 ⑶2x2－7x＋6＝0 (4)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
答案：(1)= = (2)=11， =-9 (3)=2， = (4)=8， =-2
※：解方程中常见思想方法
常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。
解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2≥2>0所以值恒大于0.
所以值恒小于0。
变:（1）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ A ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
（2）已知，，则的值 ( B )
A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数
（3）已知为实数，则 的值为_-8____。
（4） 已知实数满足，则代数式的最小值等于 -12 .
（5）*已知，则的值为__4___。
（6）**已知实数满足，则的最大值为__4___。
（7）**已知，满足，， ，则的值等于__3___。
例2：分类讨论的思想
解方程x2－|x－1|－1=0.
解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.
解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.
（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.
解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.
综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．
解：①当x+2≥0，即x≥-2时， x2+2（x+2）-4=0， x2+2x=0， 解得=0，=-2； ②当x+2＜0，即x＜-2时， x2-2（x+2）-4=0， x2-2x-8=0， 解得=4（不合题设，舍去），=-2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=-2．
换元的思想
阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①解得，
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解为，，，
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
解方程． （选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
解：（1）换元，转化。 （2）设， 则原方程可化为。 解得（不合题意，舍去）。 由可得解是：， 故方程的解是。
（选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
培优同步检测A
1、 设方程，当 1 时，是一元一次方程；
当 ≠ 时，是一元二次方程。
2、已知是一元二次的解，则=___10____;
3、若n﹙n≠0﹚是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n的值 -2 。
4、 若是方程的一个根，则 0 。
5、 若方程有一个根为0，则-3或1 。
6、已知、是方程的两个实数根，则的值为 30 。
7、如果对于任意两个实数、，定义，解方程：，可得 -2 。
8、（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ C ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
9、如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （D ）
A．1 B. ±1 C. 2 D. ±2
10、配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为﹙ D ﹚
A. ﹙x－3﹚2＝ B .3﹙x－1﹚2＝ C . ﹙3x－1﹚2＝1 D.﹙x－1﹚2＝
11、下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A． B.
C． D.
12、已知x2＋y2－2x＋4y＋5=0,则2x＋y的值是﹙ A ﹚
A . 0 B . 2 C . 4 D. 5
13、已知方程的一个正根为，求+的值。
解：由方程x2-19x-150=0 得（x-25）（x+6）=0 解得x=25或-6 ∵方程x2-19x-150=0的一个正根为a， ∴a=25．
14、解关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
解：当m=1时，原方程变为-2x+2=0,解之x=1
当m1时，=1， =
培优同步检测B
若(m－1)x2＋＝4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。．
2. 解方程，则 。
3. 已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值 4 。
4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 30 。
5.设a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a＋＝ 2024
6.已知，则的值是 。
7. 已知是正整数，方程，当时，两根为、；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。
8.已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 x=-1 。
9.方程﹙x2＋x－1﹚x+3＝1的所有整数解的个数是﹙ C ﹚
A . 2 B . 3 C . 4 D. 5
关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（A ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
10.已知方程x2＋bx＋a＝0有一根是－a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙ D ﹚
A . ab B . C . a＋b D.a－b
11.用配方法证明：无论x取何实数，代数式的值不小于10。
证明：∵2x2-8x+18=2（x-2）2+10≥10， ∴无论x取何实数，代数式2x2-8x+18的值不小于10．
12**、已知两个不相等的实数m，n满足3m2＋2024m＋1＝0，n2＋2024n＋3＝0，且mn≠1，试求的值.
由题知n≠0，将n2＋2024n＋3＝0两边同除以n2变形为
∵且mn≠1，且满足3m2＋2024m＋1＝0，， ∴m、可看作一元二次方程3x2＋2024x＋1＝0的两不相等的实数根， ∴m+=， ∴
【基础知识回顾】
知识点一、一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程定义：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程。
2、一元二次方程的一般形式:_______________(a≠0).其中ax2是________，______是二次项系数；bx是______，___是一次项系数；___是常数项。
3 、一元一次方程的解: 使一元二次方程两边_________的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；
（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
常用的两个结论是：
①a＋b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为________；
②a－b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为________;若c=0呢?
【经典例题】
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例2、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，－6，9 C．2，－6，－9 D．－2，6，9
例3、关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D.
【培优特训】
1、若x＝1是方程的解，则（ ）
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
2、 若方程是关于x的一元二次方程，则m＝_______.
3、 当m＝______时，关于x的方程是一元二次方程。
4、若一元二次方程有一个根为x＝－1，则a＋b＝__________
5、已知关于x的方程
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
知识点二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果( )，则= ， = ， = 。
练一练(1)(2x+1)2=25； (2) 4(2x+1)2-36=0 ； (3)；(4)81(x-2)2=16 ；
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根.
练一练
解方程：(1)3x(x－2)＝2(x－2) (2) x2－4x＋4＝(2－3x)2． (3) *x2－3x－28＝0．
3、配方法：解法步骤：
①化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数；
②移项：把 项移到方程的 边；
③配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式；
④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
练一练：
1．用配方法解方程应该先把方程变形为 ( )
(A) ( B) (C) (D)
2．配成完全平方式需加上 ( )．
(A)1 (B) (C) (D)
3．若x2＋px＋16是一个完全平方式，则p的值为 ( )．
(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16
4.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，其配方正确的是 ( )．
(A) (B)
(C) (D)
5.用配方法解下列方程（1） （2）
4、公式法：如果方程满足 ，则方程的求根公式为
练一练：
用公式法解下列方程（1） （2） （3）
综合应用：用适当的方法解下列方程：
⑴ 4 ⑵ x2－2x－99 ＝0 ⑶2x2－7x＋6＝0 (4)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
※：解方程中常见思想方法
常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1.试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。
变式:（1）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
（2）已知，，则的值 ( )
A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数
（3）已知为实数，则 的值为_____。
（4） 已知实数满足，则代数式的最小值等于 .
（5）*已知，则的值为_____。
（6）**已知实数满足，则的最大值为_____。
（7）**已知，满足，， ，则的值等于_____。
例2：分类讨论的思想
解方程x2－|x－1|－1=0.
解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.
解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.
（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.
解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.
综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．
换元的思想
阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①解得，
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解为，，，
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
解方程． （选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
培优同步检测A
1、 设方程，当 时，是一元一次方程；
当 时，是一元二次方程。
2、 已知是一元二次的解，则=_______;
3、若n﹙n≠0﹚是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n的值 。
4、 若是方程的一个根，则 。
5、 若方程有一个根为0，则 。
6、已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
7、如果对于任意两个实数、，定义，解方程：，可得 。
8、（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
9、如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （ ）
A．1 B. ±1 C. 2 D. ±2
10、配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为﹙ ﹚
A. ﹙x－3﹚2＝ B .3﹙x－1﹚2＝ C . ﹙3x－1﹚2＝1 D.﹙x－1﹚2＝
11、下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B.
C． D.
12、已知x2＋y2－2x＋4y＋5=0,则2x＋y的值是﹙ ﹚
A . 0 B . 2 C . 4 D. 5
13、已知方程的一个正根为，求+的值。
14、解关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
培优同步检测B
若(m－1)x2＋＝4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。．
2. 解方程，则 。
3. 已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值 。
4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
5.设a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a＋＝
6.已知，则的值是 。
7. 已知是正整数，方程，当时，两根为、；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。
8.已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。
9.方程﹙x2＋x－1﹚x+3＝1的所有整数解的个数是﹙ ﹚
A . 2 B . 3 C . 4 D. 5
关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
10.已知方程x2＋bx＋a＝0有一根是－a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙ ﹚
A . ab B . C . a＋b D.a－b
11.用配方法证明：无论x取何实数，代数式的值不小于10。
12**、已知两个不相等的实数m，n满足3m2＋2024m＋1＝0，n2＋2024n＋3＝0，且mn≠1，试求的值.
第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导答案
【基础知识回顾】
知识点一、一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程定义：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是2 的 整式 方程。
2、一元二次方程的一般形式:____ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚.其中ax2是_二次项_______，___a___是二次项系数；bx是_一次项_____，__b_是一次项系数；__c_是常数项。
3 、一元一次方程的解: 使一元二次方程两边__相等_______的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；
（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
常用的两个结论是：
①a＋b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为x=1；
②a－b＋c=0,则方程ax2＋bx＋c=0﹙a≠0﹚必有一根为x=－1;若c=0呢?（则x=0）
【经典例题】
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例2、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ C ）
A．6，2，9 B．2，－6，9 C．2，－6，－9 D．－2，6，9
例3、关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ B ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D.
【培优特训】
1、若x＝1是方程的解，则（ C ）
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
2、 若方程是关于x的一元二次方程，则m＝_____2_____
3、 当m＝__-3______时，关于x的方程是一元二次方程。
4、若一元二次方程有一个根为x＝－1，则a＋b＝__2018________
5、已知关于x的方程
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：（1）
一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是-（m+1）及常数项是m．
知识点二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果( a≠0 )，则= ， = ， = 。
练一练(1)(2x+1)2=25； (2) 4(2x+1)2-36=0 ； (3)；(4)81(x-2)2=16 ；
答案：(1)=2， =-3 (2)=1， =-2 (3)=-5， = (4)=， =
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个 一元一次 方程，即 A=0 、 B=0 从而得方程的两根.
练一练解方程：(1)3x(x－2)＝2(x－2) (2) x2－4x＋4＝(2－3x)2． (3) *x2－3x－28＝0．
答案：(1)=2， = (2)=0， =1 (3)=-4， =7
3、配方法：解法步骤：
①化二次项系数为 1 即方程两边都 除以 二次项系数；
②移项：把 常数 项移到方程的 右 边；
③配方：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 把左边配成完全平方的形式；
④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
练一练：
1．用配方法解方程应该先把方程变形为 ( C )
(A) ( B) (C) (D)
2．配成完全平方式需加上 ( C )．
(A)1 (B) (C) (D)
3．若x2＋px＋16是一个完全平方式，则p的值为 ( C )．
(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16
4.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，其配方正确的是 ( A )．
(A) (B)
(C) (D)
5.用配方法解下列方程（1） （2）
答案：(1)=， = (2)=， =
4、公式法：如果方程满足 ，则方程的求根公式为 X=
练一练：
用公式法解下列方程（1） （2） （3）
答案：(1)=， =
答案：(2)=， =
答案：(3)=， =
综合应用：用适当的方法解下列方程：
⑴ 4 ⑵ x2－2x－99 ＝0 ⑶2x2－7x＋6＝0 (4)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
答案：(1)= = (2)=11， =-9 (3)=2， = (4)=8， =-2
※：解方程中常见思想方法
常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。
解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2≥2>0所以值恒大于0.
所以值恒小于0。
变:（1）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ A ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
（2）已知，，则的值 ( B )
A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数
（3）已知为实数，则 的值为_-8____。
（4） 已知实数满足，则代数式的最小值等于 -12 .
（5）*已知，则的值为__4___。
（6）**已知实数满足，则的最大值为__4___。
（7）**已知，满足，， ，则的值等于__3___。
例2：分类讨论的思想
解方程x2－|x－1|－1=0.
解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.
解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.
（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.
解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.
综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．
解：①当x+2≥0，即x≥-2时， x2+2（x+2）-4=0， x2+2x=0， 解得=0，=-2； ②当x+2＜0，即x＜-2时， x2-2（x+2）-4=0， x2-2x-8=0， 解得=4（不合题设，舍去），=-2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=-2．
换元的思想
阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①解得，
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解为，，，
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
解方程． （选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
解：（1）换元，转化。 （2）设， 则原方程可化为。 解得（不合题意，舍去）。 由可得解是：， 故方程的解是。
（选作题型展示）用换元法解方程：1、.
2、已知实数x满，求的值.
培优同步检测A
1、 设方程，当 1 时，是一元一次方程；
当 ≠ 时，是一元二次方程。
2、已知是一元二次的解，则=___10____;
3、若n﹙n≠0﹚是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n的值 -2 。
4、 若是方程的一个根，则 0 。
5、 若方程有一个根为0，则-3或1 。
6、已知、是方程的两个实数根，则的值为 30 。
7、如果对于任意两个实数、，定义，解方程：，可得 -2 。
8、（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ C ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
9、如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （D ）
A．1 B. ±1 C. 2 D. ±2
10、配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为﹙ D ﹚
A. ﹙x－3﹚2＝ B .3﹙x－1﹚2＝ C . ﹙3x－1﹚2＝1 D.﹙x－1﹚2＝
11、下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A． B.
C． D.
12、已知x2＋y2－2x＋4y＋5=0,则2x＋y的值是﹙ A ﹚
A . 0 B . 2 C . 4 D. 5
13、已知方程的一个正根为，求+的值。
解：由方程x2-19x-150=0 得（x-25）（x+6）=0 解得x=25或-6 ∵方程x2-19x-150=0的一个正根为a， ∴a=25．
14、解关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
解：当m=1时，原方程变为-2x+2=0,解之x=1
当m1时，=1， =
培优同步检测B
若(m－1)x2＋＝4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。．
2. 解方程，则 。
3. 已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值 4 。
4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 30 。
5.设a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a＋＝ 2024
6.已知，则的值是 。
7. 已知是正整数，方程，当时，两根为、；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。
8.已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 x=-1 。
9.方程﹙x2＋x－1﹚x+3＝1的所有整数解的个数是﹙ C ﹚
A . 2 B . 3 C . 4 D. 5
关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（A ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
10.已知方程x2＋bx＋a＝0有一根是－a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙ D ﹚
A . ab B . C . a＋b D.a－b
11.用配方法证明：无论x取何实数，代数式的值不小于10。
证明：∵2x2-8x+18=2（x-2）2+10≥10， ∴无论x取何实数，代数式2x2-8x+18的值不小于10．
12**、已知两个不相等的实数m，n满足3m2＋2024m＋1＝0，n2＋2024n＋3＝0，且mn≠1，试求的值.
由题知n≠0，将n2＋2024n＋3＝0两边同除以n2变形为
∵且mn≠1，且满足3m2＋2024m＋1＝0，， ∴m、可看作一元二次方程3x2＋2024x＋1＝0的两不相等的实数根， ∴m+=， ∴