人教版八年级数学上册第十一章 三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件（22张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十一章 三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件（22张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 640.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-09 08:04:42 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.1.1 三角形的高、中线与角平分线
了解三角形的重心的概念.
学 习 目 标
1
2
3
掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.（重点）
掌握三角形的高、中线及角平分线的画法. （难点）
新课导入
复习引入
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
A
B
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
O
B
A
知识讲解
★ 三角形的高
定义
A
B
C
从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
D
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
垂足
问题：(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
如图所示；
锐角三角形的三条高
F
E
A
B
O
C
D
直角三角形的三条高
问题： 画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
A
B
C
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
AC边上的高是 ;
AB
BC
BD
钝角三角形的三条高
问题： 画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
A
B
D
F
O
E
C
钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点
要点归纳
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
★ 三角形的中线
连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图，是△的边上的中线.
定义
中线
中点
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
(或为的中点）
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
O
O
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，
△ADC的周长＝ AC + DC + AD ，
所以△ABD的周长- △ADC的周长
＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）
＝ AB- AC=2cm.
又因为AC＝5cm，
所以AB＝7cm.
★ 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图， 是△ 的角平分线， 或∠ ＝∠ ＝ ∠且点在边 上.
1
2
A
C
D
∠1=∠2
B
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
定义
不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线
问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？
解：因为 平分∠，∠，
所以∠.
因为∠+∠+∠，∠＝50°，
所以∠ ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为 平分∠，
所以∠＝∠.
例3 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，相交于点. ∠，求∠ 的度数.
随堂训练
1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
×
×
√
B
2.如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（ ）
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
3.如图所示，在中，，， ⊥ 于点，且. 若点 在边 上移动，则 长的最小值是 .
解：设AB ＝ AC ＝ 2x，则AD ＝ CD ＝ x.
（1）当AB+AD ＝ 12，BC+CD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 12，
所以x ＝ 4，2x ＝ 8. 所以AB ＝ AC ＝ 8，BC ＝ 6-4 ＝ 2.
（2）当BC+CD ＝ 12，AB+AD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 6，
解得x ＝ 2，所以2x ＝ 4.
所以AB ＝ AC ＝ 4，BC ＝ 12-2 ＝ 10.
因为4+4<10，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形ABC 的腰长为8，底边长为2.
4.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12 和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长.
5.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
课堂小结
三角形重要线段
高
锐角三角形的三条高交于在三角形的内部一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点
中线
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心
一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.1.1 三角形的高、中线与角平分线
了解三角形的重心的概念.
学 习 目 标
1
2
3
掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.（重点）
掌握三角形的高、中线及角平分线的画法. （难点）
新课导入
复习引入
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
A
B
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
O
B
A
知识讲解
★ 三角形的高
定义
A
B
C
从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
D
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
垂足
问题：(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
如图所示；
锐角三角形的三条高
F
E
A
B
O
C
D
直角三角形的三条高
问题： 画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
A
B
C
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
AC边上的高是 ;
AB
BC
BD
钝角三角形的三条高
问题： 画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
A
B
D
F
O
E
C
钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点
要点归纳
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
★ 三角形的中线
连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图，是△的边上的中线.
定义
中线
中点
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
(或为的中点）
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
O
O
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，
△ADC的周长＝ AC + DC + AD ，
所以△ABD的周长- △ADC的周长
＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）
＝ AB- AC=2cm.
又因为AC＝5cm，
所以AB＝7cm.
★ 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图， 是△ 的角平分线， 或∠ ＝∠ ＝ ∠且点在边 上.
1
2
A
C
D
∠1=∠2
B
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
定义
不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线
问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？
解：因为 平分∠，∠，
所以∠.
因为∠+∠+∠，∠＝50°，
所以∠ ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为 平分∠，
所以∠＝∠.
例3 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，相交于点. ∠，求∠ 的度数.
随堂训练
1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
×
×
√
B
2.如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（ ）
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
3.如图所示，在中，，， ⊥ 于点，且. 若点 在边 上移动，则 长的最小值是 .
解：设AB ＝ AC ＝ 2x，则AD ＝ CD ＝ x.
（1）当AB+AD ＝ 12，BC+CD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 12，
所以x ＝ 4，2x ＝ 8. 所以AB ＝ AC ＝ 8，BC ＝ 6-4 ＝ 2.
（2）当BC+CD ＝ 12，AB+AD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 6，
解得x ＝ 2，所以2x ＝ 4.
所以AB ＝ AC ＝ 4，BC ＝ 12-2 ＝ 10.
因为4+4<10，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形ABC 的腰长为8，底边长为2.
4.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12 和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长.
5.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
课堂小结
三角形重要线段
高
锐角三角形的三条高交于在三角形的内部一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点
中线
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心
一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心