(共20张PPT)
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
第1课时
学 习 目 标
1
2
会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）
会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
新课导入
我是直角三角形，我的内角和最大
我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的
我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的
一天，三角形界就三角形内角和的大小展开了一场激烈的争论，请同学们为它们评判一下吧.
知识讲解
★ 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
小学时，我们就已经知道，任意三角形的内角和等于180°，我们是通过度量或简拼得到这一结论的. 你可以用推理的方法证明这一结论吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
验证结论：
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
总结归纳
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
★思路总结
为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
★作辅助线
解：设∠，则∠，∠.
根据三角形内角和定理，
得，解得.
所以∠，∠，∠.
例1 在△ 中，∠ ＝ ∠，∠ ＝ ∠. 求∠，∠ ，∠ 的度数.
★ 三角形内角和定理的应用
例2 如图所示，BE 平分∠ ABD，CF 平分∠ ACD，BE，CF 交于点G，已知∠ BDC ＝ 140°，∠ BGC ＝ 110°，求∠ A 的度数.
1. 与角平分线综合求角度
在△CDB 中，∵ ∠BDC ＝ 140°，
∴ ∠DBC+ ∠BCD ＝ 180° - ∠BDC ＝ 40° .
在△CGB 中，∵ ∠BGC ＝ 110°，
∴ ∠GBC+ ∠BCG ＝ 180° - ∠BGC ＝ 70° .
解：如图所示，连接BC.
∵ BG，CG 分别平分∠ABD，∠ACD，
∴ ∠ABG+ ∠ACG ＝∠GBD+ ∠DCG ＝ 30° .
∴ ∠ABC+ ∠BCA ＝ 2（∠ABG+ ∠ACG）+（∠DBC+ ∠BCD）
＝ 2×30° +40°＝ 110° .
在△ABC 中， ∠A ＝ 180° -（∠ABC+ ∠BCA）＝ 80° .
∴ ∠GBD+ ∠DCG ＝∠GBC+ ∠BCG-（∠DBC+ ∠BCD） ＝ 70° -40° ＝ 30° .
2. 与高、角平分线结合求角度
例3 如图所示，在△ 中，∠，∠， 是BC 边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数.
解：在△ 中，∵ ∠，∠，
∴ ∠ ∠∠＝ .
∵ 是∠的平分线， ∴ ∠ ＝ ∠ ＝ .
∵ 是 边上的高，∴ ∠.
在△ 中，∵ ∠ ＝ ，∠，
∴ ∠∠∠.
∴ ∠∠ ∠.
3.三角形的内角和定理在实际问题中的应用
例4 如图是A， B， C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
北
A
D
北
C
B
东
E
.
.
.
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60 °,
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
随堂训练
2.如图，已知直线∥，∠=115°，∠=25°，则∠= ( )
A. B. 80° C. 90° D. 100°
C
1.若一个三角形三个内角的比为3：4：11，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
D
3.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，
则∠ C =_______;
（3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C = ________.
102°
120°
4.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
课堂小结
三角形的
内角和定理
证明
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角
内容
三角形内角和等于180 °
(共14张PPT)
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
第2课时
会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
学 习 目 标
1
2
3
了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
掌握直角三角形的判定.（难点）
新课导入
复习回顾
1.什么样的三角形是直角三角形？
有一个角是直角的三角形是直角三角形. 其中，构成直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边.
2. 直角三角形有什么性质呢？
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
知识讲解
★ 直角三角形的性质
探究：如图，在RT△中， ∠C=90° 那么两锐角的度数之和为多少?
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90° 由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°
即∠A +∠B=90°.
思考：由此，可以得到直角三角形的什么性质？
A
B
C
A
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
★ 直角三角形的判定
思考：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.
反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，
又因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
A
B
C
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
例2 如图，在△ 中，∠，∠ ＝ ∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，可证明∠ ∠ . 在△中，已知∠，∠＝∠，易证△是直角三角形.
证明：∵ ∠，∴ ∠+ ∠.
∵ ∠∠，∴ ∠ ∠，
∴ △ 是直角三角形.
例3 如图，在△中，边上的高，上一点，于∠∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，只要证明∠ ∠即可.
证明：∵ 边上的高，
∴ ∠ ∠.
又∵ ∠∠，∠ ＝∠，
∴ ∠ ∠，∴ △ 是直角三角形.
随堂训练
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
4.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数分别为 度.
C
18
5.在△中，⊥于，是∠的平分线，∠，∠，求：
（1）∠的度数；
（2）∠的度数．
解：（1）∵，∴∠.
∵∠，∴∠∠；
（2）∵∠，∠，∠+∠+∠，
∴∠.
∵是∠的平分线，∴∠= ∠，
∴∠=∠+∠，∠．
6.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形.
证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
课堂小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
