人教版八年级数学上册第十一章 三角形11.2.2 三角形的外角课件 （21张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十一章 三角形11.2.2 三角形的外角课件 （21张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 636.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-09 08:16:44 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.(重点）
学 习 目 标
1
2
3
理解并掌握三角形的外角的概念.
掌握三角形外角的性质.(重点）
新课导入
复习回顾
三角形的内角和等于180°.
如图，在△中，∠，∠，则∠.
如果我们将延长至点，则可以得到一个新角∠
A
B
C
D
思考： ∠还是△的内角吗？
知识讲解
★ 三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
★ 三角形的外角的性质
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
★三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
拓 展
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小.
如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图1
A
B
C
1
2
图2
A
B
C
1
2
E
3
D
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于，∠，∠ 应分别是，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图 所示，延长
因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ ∠.
又因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ ∠.
所以∠ ＝∠ ∠ ∠.
所以可以断定这个零件不合格.
例2 如图，△中，延长线上一点， 延长线上一点，上一点，连接. 求证： ∠ ∠.
证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠∠.
∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠∠，
∴ ∠∠.
★ 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
∠ACD +∠3=180 ° .③
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
结论：三角形的外角和等于360°.
解法3 ：如图所示，过点 作射线，使∥.
∵ ∥，
∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠.
∴ ∠∠∠
＝∠∠∠.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
2
3
P
1
(
(
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
随堂训练
A
1.已知△的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形
B
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
B
E
C
D
4.如图，在△中，∠,点延长线上一点，∠，则∠= .
3.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上， 则∠1 的度数为（ ）
A.75° B.65° C.45° D.30°
A
70°
A
B
C
D
5.如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°， 求∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180?.
6.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
课堂小结
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
第 十一章 三角形
第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.(重点）
学 习 目 标
1
2
3
理解并掌握三角形的外角的概念.
掌握三角形外角的性质.(重点）
新课导入
复习回顾
三角形的内角和等于180°.
如图，在△中，∠，∠，则∠.
如果我们将延长至点，则可以得到一个新角∠
A
B
C
D
思考： ∠还是△的内角吗？
知识讲解
★ 三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
★ 三角形的外角的性质
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
★三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
拓 展
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小.
如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图1
A
B
C
1
2
图2
A
B
C
1
2
E
3
D
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于，∠，∠ 应分别是，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图 所示，延长
因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ ∠.
又因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ ∠.
所以∠ ＝∠ ∠ ∠.
所以可以断定这个零件不合格.
例2 如图，△中，延长线上一点， 延长线上一点，上一点，连接. 求证： ∠ ∠.
证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠∠.
∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠∠，
∴ ∠∠.
★ 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
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(
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你还有其他解法吗？
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
∠ACD +∠3=180 ° .③
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
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结论：三角形的外角和等于360°.
解法3 ：如图所示，过点 作射线，使∥.
∵ ∥，
∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠.
∴ ∠∠∠
＝∠∠∠.
A
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(
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2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
随堂训练
A
1.已知△的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形
B
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
B
E
C
D
4.如图，在△中，∠,点延长线上一点，∠，则∠= .
3.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上， 则∠1 的度数为（ ）
A.75° B.65° C.45° D.30°
A
70°
A
B
C
D
5.如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°， 求∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
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C
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F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180?.
6.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
课堂小结
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角