(共23张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.1 三角形全等的判定(SSS)
学 习 目 标
3
1
2
通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运用知识的能力.
掌握用SSS证明两个三角形全等的方法．
了解用尺规作一个角等于已知角的方法．
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
问题二：
两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述一部分条件，是否我们也能说明他们全等？
想一想：
新课导入
问题一：
根据上面的结论，两个三角形全等，它们的三个角、三条边分别对应相等，那么反过来，如果两个三角形中上述六个元素对应相等，是否一定全等？
全等
（2）只有一个角相等时
知识讲解
探究1：
（1）只有一条边相等时
3㎝
3㎝
只有一个条件对应相等时（一条边或一个角）
45?
45?
3cm
45?
两个三角形不一定全等
两个三角形不一定全等
结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探究2：
有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
（1）三角形的两边对应相等时
5cm
5cm
3cm
3cm
两个三角形不一定全等
探究2：
有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
45?
30?
45?
30?
（2）三角形的两角对应相等时
两个三角形不一定全等
探究2：
有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
3cm
3cm
30?
30?
（3）三角形的一个角和一条边对应相等时
两个三角形不一定全等
结论：有两个条件对应相等不能保证两个三角形全等.
60o
300
300
60o
90o
90o
探究3：
有三个条件对应相等时
（三个角对应相等；三条边对应相等；两个角和一条边对应相等；一个角和两条边对应相等）
（1）三角形的三角对应相等时
两个三角形不一定全等
4cm
6cm
3cm
（2）三角形的三边对应相等时
两个三角形全等
探究3：
有三个条件对应相等时
6cm
4cm
3cm
6cm
4cm
3cm
试一试：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A ′
B′
C′
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B'、C'为圆心，线段AB、AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'、A 'C '.
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A与BC 中点D 的支架．
求证： ∠B=∠C ．
C
B
D
A
解题思路：
例1
隐含条件：公共边AD
已知条件：AB=AC
推论得出条件：D是BC的中点 ，得 BD=CD
证明：∵ D 是BC中点，
∴ BD =DC．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
∴ ∠B=∠C．
C
B
D
A
AB =AC (已知），
BD =CD （已证），
AD =AD （公共边），
（1）准备条件：
证全等时要用的间接条件要先证好.
（2）三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中；
摆出三个条件用大括号括起来；
写出全等结论.
证明的书写步骤：
已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
求证: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
证明:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ).
在△ABC 和△DEF中，
AB = DE，
AC = DF，
BC = EF，
∵ BE = CF，
∴ BC = EF.
∴ BE+EC = CF+CE，
（1）
（2）∵ △ABC ≌ △DEF，
∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.
例2
已知：∠AOB．
求作： ∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′=∠AOB．
O
D
B
C
A
O′
C′
A′
B′
D ′
用尺规作一个角等于已知角
作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角的方法步骤
随堂训练
1、如图，D、F 是线段BC上的两点，
AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件 .
A
E
B D F C
BF=CD
或BD=CF
A
B
C
D
△ABC≌
解：△ABC≌△DCB.
理由如下：
AB = CD,
AC = DB,
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC 和△DCB是否全等？
△DCB
BC = CB.
（SSS）
3.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE.
求证：△ABC≌△AED.
证明：∵BD=CE,
∴BD－CD=CE－CD .
∴BC=ED .
在△ABC和△ADE中，
AC=AD，
AB=AE，
BC=ED，
∴△ABC≌△AED（SSS）.
4.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
证明：(1)∵ AD=FB，
∴AB=FD（等式的性质）.
在△ABC和△FDE 中，
AC=FE，
BC=DE，
AB=FD，
∴△ABC≌△FDE（SSS）.
A
C
E
D
B
F
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证）.
∴ ∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
5.已知: 如图,AB = DC ,AD = BC .
求证: ∠ A =∠ C .
证明:
在△BAD 和△DCB中，
AB = CD，
AD = CB，
BD = DB，
∴△BAD ≌ △DCB，( SSS )
∴∠ A =∠ C.
(已知)
(已知)
(公共边)
(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
D
如图，连接 BD，
1.基本事实：有三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”（SSS）
2. 应用三角形全等用到的数学方法:
证明线段(或角)相等 转化 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
（1）说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
（3）有时需添辅助线(如:造公共边).
课堂小结
3.两个三角形全等的注意点：
(共19张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.2 三角形全等的判定(SAS)
学 习 目 标
3
1
2
通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个三角形全等的条件——SAS ．
掌握用SAS证明两个三角形全等的方法，并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相等．
了解“SSA”不能作为证明两个三角形全等的条件．
知识回顾
三角形全等的判定方法1
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
想一想：
新课导入
探究三角形全等的条件：有三个条件对应相等时
三个角对应相等；
三条边对应相等；
两条边和一个角对应相等；
两个角和一条边对应相等
不能
SSS
?
知识讲解
探究：
两条边和一个角对应相等时，两三角形是否全等？
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角 的位置有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及其夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们分别对应相等能判定两个三角形全等吗？
探究1：两边及其夹角对应相等时，两三角形是否全等？
试一试：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即两边和它们的夹角分别相等）. 把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C '.
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
文字语言：两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等.
（简写成“边角边”或“SAS”）
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）.
几何语言：
三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =DF ，
例1
已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB.
求证：△ACB≌△ADB.
AC=AD,（已知）
∠CAB =∠DAB,（已知）
AB =AB,（公共边）
∴△ACB≌△ADB.（SAS）
证明：在△ACB 和△ADB 中,
A
B
C
D
例2
已知：如图，AD∥BC，AD=CB.
求证：△ADC ≌△CBA.
AD =CB,（已知）
∠1=∠2,（已知）
AC=CA, （公共边）
∴△ADC≌△CBA.（SAS）
证明：∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,（两直线平行，内错角相等）
在△DAC 和△BCA中,
D
C
1
A
2
B
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连接AC并延长到D, 使CD=CA.连接BC并延长到E,使CE=CB. 连接DE,那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？
A
B
C
E
D
证明：在△ABC 和△DEC中，
∴△ABC ≌△DEC.(SAS)
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
例3
CA = CD，
∠ACB =∠DCE，
CB =CE ，
A
45°
B
B′
C
10cm
8cm
8cm
探究2：两边和其中一边的对角对应相等时，两三角形是否全等？
试一试：以10cm，8cm为三角形的两边，长度为8cm的边所对的角为45°，动手画一画，你发现了什么？
△ABC 的形状与大小是唯一确定的吗?
10cm
A
B′
C
45°
8cm
B
A
8cm
45°
10cm
C
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。
发现：△ABC和△ AB'C 满足AC=AC ,BC= B'C ,∠A=∠A,
但△ABC与△ AB'C 不全等.
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
C
例4
总结：在判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
随堂训练
1.如图，去修补一块玻璃，问带哪一块玻璃去可以使得新玻璃与原来的完全一样？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
知识应用
分析：带Ⅲ去，可以根据SAS得到与原三角形全等的一个三角形.
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC ?
D
3. 如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的数量和位置关系？并说明理由.
_
F
_
E
_
B
_
A
_
C
_
D
AC=DF， （已知）
∠A=∠D ，（已证）
AB =DE， （已证）
∴△ BCA ≌△ EFD . （SAS）
解：∵AC∥DF，
∴∠A=∠D.（两直线平行，内错角相等）
又∵ AE=DB, ∴ AE +BE =DB +BE,即AB =DE.
在△BCA 和△EFD 中,
∴ BC= EF，（ ）
∴ ∠ABC=∠DEF，（全等三角形的对应角相等）
∴EF‖BC.(内错角相等，两直线平行)
全等三角形的对应边相等
_
F
_
E
_
B
_
A
_
C
_
D
课堂小结
2.用SAS证明两个三角形全等时，已知两边，必须找“夹角”;已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
1. 三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (边角边或SAS)
3.利用全等三角形证明线段或角相等，其思路如下：
⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中;
⑵分析要证全等的这两个三角形，已知什么条件，还缺什么条件.
(共21张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.3 三角形全等的判定(AAS SAS)
前言
学习目标
重点难点
理解两种判定方法，并掌握用这两种方法证明两个三角形全等。
1．探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法。
2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等。
3.通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。
回顾
先任意画一个△ABC，再画一个△AˊBˊC ˊ ，使△ABC和△AˊBˊC ˊ满足六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗？
A
B
C
满足六个条件中的三个的情况分为
三个角相等
三条边相等
两边一角相等
两角一边相等
不一定
全等
本节讨论
{
两边和它们的夹角相等
两边和其中一边对角相等
全等
不全等
思考
两个三角形中两角一边相等的情况分为：
1、两角和他们的夹边分别相等。
2、有两个角和其中一个角的对边相等。
思考
情况1：两角和他们对应的夹边相等，两三角形全等吗？
画一个△AˊBˊC ˊ ，使两角和夹边相等？
全等
画法：1、画AˊBˊ＝AB。
2、在 AˊBˊ的同旁画∠DAˊBˊ=∠A ，
∠E BˊAˊ=∠B， AˊD， BˊE交于点Cˊ 。
Aˊ
Bˊ
E
D
A
C
B
Cˊ
小结
在△ABC与△DEF中
∠B=∠E
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
A
B
C
D
E
F
用语言表达如下：
思考
情况2：有两个角和其中一个角的对边相等，两三角形全等吗？
如图： 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
A
B
C
D
E
F
提示：
三角形内角和是180°
证明
证明：
∵ ∠A＋∠B＋∠C=180o
∠D＋∠E＋∠F=180o
∴ ∠C=∠F
又∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E
∠C=∠F
BC=EF
∴ △ABC≌△DEF （ASA）
情况2：有两个角和其中一个角的对边相等，两三角形全等吗？
全等
小结
由以上证明可以得到下面结论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（即 “角角边”或“AAS”）
小结
在△ABC与△DEF中
∠B=∠E
∠A=∠D
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
A
B
C
D
E
F
用语言表达如下：
课堂测试
1.如图,O是AB的中点，∠C= ∠D，△AOC与△BOD全等吗?为什么？
O
A
B
C
D
\
证明：在△AOC和△BOD中,
_____________ ( )
_____________ ( )
_____________ ( )
∴△AOC≌△BOD（AAS）
∠C＝∠D
已知条件
∠AOC＝∠BOD
对顶角相等
AO＝BO
中点定义
课堂测试
2.已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS）
∴AD＝AC
1
A
B
C
D
2
课堂测试
∠1＝∠2
AB＝AB
∠ABD＝∠ABC
∴ △ABD≌△ABC（ASA）
∴ AD＝AC
3.已知∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC,求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
1
A
B
C
D
2
课堂测试
4.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CE，求证：AB=AC
4
2
1
3
A
B
C
E
D
证明：∵∠3＝∠4，∠1＝∠2
∴∠ABD＝∠ACE
在△ABD和△ACE中
∠1＝∠2
∠ABD＝∠ACE
BD＝CE
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB＝AC
(三角形的外角等于不相邻的两个内角的和。)
课堂测试
5.已知:点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF
A
B
C
D
E
F
分析：因为EA⊥AF，所以∠FAB+∠BAE= 90°,而∠BAD=90°（正方形），则∠FAB=∠EAD
课堂测试
6.如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B =∠D，
求证：DF=BE．
A
B
C
D
E
F
∠A =∠C（两直线平行内错角相等）
∠D =∠B
AF =CE
∴ △ADF ≌ △CBE （AAS）
∴ DF =BE
证明：在△ADF 和△CBE中，
课堂测试
6.若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”，那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A
B
C
D
E
F
探索提高
1.如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.
求证：1）∠C= ∠B， 2）OA=OD
A
B
C
D
O
1
2
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中
AD=DA（公共边）
AC=DB（已知）
DC=AB（已知）
∴△ADC≌△DAB （SSS）
∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等）
课堂测试
1.如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.
求证：1）∠C= ∠B， 2）OA=OD
A
B
C
D
O
1
2
(2) 在△ AOB 和△ DOC中
∠ B =∠ C （已证）
∠1=∠2 （对顶角相等）
DC=AB（已知）
∴△DOC≌△AOB （AAS）
∴OA=OD
（全等三角形的对应边相等）
探索提高
=
=
A
B
E
C
F
D
2.如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证:ΔABC≌ ΔDEF
(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿＿； (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
(3)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
(4)若要以“AAS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
∠ACB= ∠DEF
AB=DE
AB=DE、AC=DF
∠A=∠D
课堂互动
Classroom Interaction
三角形全等的判定过程及条件
01
课后回顾
如何证明两角一边相等
两三角形全等
02
利用AAS\ASA证明三角形全等
03
(共23张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)
学 习 目 标
1
2
通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个直角三角形全等的条件——HL.
掌握用HL证明两个三角形全等的方法．
想一想：
新课导入
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
SSS,SAS,ASA,AAS
A
B
D
E
F
如图，ΔABC与ΔDEF是直角三角形.
C
（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或
“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
全等
SSS
A
B
D
E
F
如图，ΔABC与ΔDEF是直角三角形。
C
（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或
“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
（2）若BC=EF，AC=DF ，则 ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
全等
全等
SSS
SAS
A
B
D
E
F
（3）若∠A=∠D， AC=DF ，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”）,根据 .（用简写法）
如图，ΔABC与ΔDEF是直角三角形。
C
全等
ASA
（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或
“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
（2）若BC=EF，AC=DF ，则 ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
全等
全等
SSS
SAS
A
B
D
E
F
（3）若∠A=∠D， AC=DF ，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”）,根据 .（用简写法）
如图，ΔABC与ΔDEF是直角三角形。
C
全等
ASA
（4）若∠A=∠D ，AB=DE ，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”）,根据＿＿＿.（用简写法）
全等
（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或
“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
（2）若BC=EF，AC=DF ，则 ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
全等
全等
SSS
SAS
AAS
A
B
C
如图，已知AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，△ABC≌△DEF吗?
不全等
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.
D
E
F
但如果这个三角形是直角三角形，会不会有什么不同呢？
知识讲解
探究：
直角三角形中，如果满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
E
F
C
试一试： 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
C
B
A
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
C
B
A
步骤：
⑴ 作∠MC＇N=90°;
C＇
M
N
⑵ 在射线C＇M上截取线段
C＇B＇=CB;
M
N
B＇
⑶ 以B＇为圆心, AB为半径画弧，交射线C＇N 于点A＇;
C＇
M
N
B＇
A＇
⑷连接A＇B＇.
C＇
M
N
B＇
A＇
C＇
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写 成“斜边、直角边”或“HL”）.
在Rt△ABC和Rt △ DEF中，
∴ Rt △ABC ≌ Rt △ DEF（HL）.
几何语言：
直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）
AB=DE，
BC=EF (或AC=DF )，
A
B
D
E
F
C
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“SS”指的是斜边和一直角边，而“A”指的是直角.
例1
证明：
如图，AB =CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE =CF.
求证：BF =DE.
A
F
C
E
D
B
在Rt△ABF 和Rt△CDE 中,
∵ AE=CF,
∴AF=CE.
又∵ AB=CD,
∴ Rt△ABF ≌Rt△CDE(HL),
∴ BF=DE.
例2
证明：
如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD.
求证：BC﹦AD.
∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD ，
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
例3
证明：
如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),
∴BD＝BF,
∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.
随堂训练
1.
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
2.
已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高.
求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD.
A
B
C
D
证明：∵AD是高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
AB=AC,
AD=AD,
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC,（HL）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.
等腰三角形三线合一
3. 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
P
D
E
F
Q
∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
分析：
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
△ABC≌△DEF
A
B
C
P
D
E
F
Q
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高,
∴∠APB=∠DQE=90°.
在Rt△ABP和Rt△DEQ中,
AB=DE,
AP=DQ,
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ ,(HL)
∴ ∠B=∠E.
在△ABC和△DEF中,
∠BAC=∠EDF,
AB=DE,
∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF. (ASA)
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等。试证明。
课堂小结
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
SSS
