(共24张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
12.3.1 角的平分线的性质
学 习 目 标
1
2
会作一个角的平分线.
通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳得出角平分线的性质.
会应用角平分线的性质解决相关问题.
3
知识回顾
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
O
B
A
C
想一想：
新课导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗？
想一想：
证明:
在△ACD 和△ACB 中,
AD=AB,（已知）
DC=BC,（已知）
CA=CA,（公共边）
∴ △ACD≌△ACB,（SSS）
∴∠CAD=∠CAB,（全等三角形的对应角相等）
∴AC平分∠DAB.（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？ （不用角平分仪或量角器）
知识讲解
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC =∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N.
（2）分别以点M,N为圆心,大于MN/2的长为半径画弧,两弧在 ∠AOB内部相交于点C..
（3）画射线OC.射线OC 即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB 的平分线,并与同伴进行交流.
A
B
O
N
M
C
提示：连接CM,CN.
思考：角平分线有什么性质呢？
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系. 写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：一个点在一个角的平分线上.
结论：它到角的两边的距离相等.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
C
验证猜想
∵ PD⊥OA，PE⊥OB,
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°.
在△ PDO和△ PEO中,
∴ △PDO≌△PEO（AAS）,
∠ PDO＝∠PEO,
∠ AOC＝∠BOC,
OP=OP,
∴ PD＝PE.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
C
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应满足的条件：（1）角的平分线；
（2）点在角平分线上；
（3）垂直距离.
书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
例1
已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.
B
A
E
D
C
F
【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.
证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF , ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
B
A
E
D
C
F
直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
【解析】由于没有限制在何处选址,根据题目要求到三条公路的距离相等，中转站需在内、外角的平分线的交点处，即A、B、C、D 处各有一个.
A
D
C
B
例2
D
A
B
C
P
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（1）求△APB的面积；
D
（2）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
解：
（1）如图，过点P 作PD ⊥AB,
由角平分线的性质，
可知，PD=PC=4，
.
例3
（2）在Rt△APC和Rt△APD中，
PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ APC ≌Rt△ APD(HL)，
∴AC＝ AD = BC.
随堂训练
1.
用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
A
B
O
N
M
C
2.
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
解析：过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
3.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
F
G
M
N
证明：过点P作PF 、PE、PG分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为F、E、G,
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PF=PE.（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PG.
∴ PF=PE=PG.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
变式：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
5.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
P
课堂小结
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
(共15张PPT)
第 十二 章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
12.3.2 角的平分线的判定
学习目标
1
2
掌握角的平分线的判定定理（重点）.
会应用角的平分线的判定解决相关问题（难点）.
知识回顾
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴PD = PE.
P 是角平分线上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB，
书写格式：
B
A
D
O
P
E
C
想一想：
新课导入
将角的平分线的性质反过来，即到一个角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
知识讲解
如图，由 于点D， 于点E，PD =PE，可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
已知：如图，PD^OA，PE^OB，
垂足分别是D,E,PD=PE.
求证：点P 在∠AOB 的平分线上.
B
A
D
O
P
E
猜想：点P在∠AOB 的平分线上,即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE。
求证：点P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP，
PD=PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）。
∴∠AOP=∠BOP
结论：判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应满足的条件：
（1）点在角的内部.
（2）该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
例1
如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF.
求证：AD 是△ABC 的角平分线.
A
B
C
E
F
D
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED =∠CFD =90°
∵D 是BC 的中点,
∴BD=CD
在Rt△BED 和Rt△CFD 中，
BD=CD,
BE=CF,
∴Rt△BED ≌Rt△CFD（HL）,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD 是△ABC 的角平分线.
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
B
A
D
O
P
E
C
\
PD=PE
OP 是∠AOB 的平分线，
∵
\OP 是∠AOB 的平分线。
PD = PE,
用途：证明线段相等。
用途：证明角相等，判定一条射线是角平分线.
PD⊥OA,PE⊥OB
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
例2
已知：如图，BE⊥AC 于E， CF⊥AB 于F，BE、CF 相交于点D， BD=CD .
求证： AD 平分∠BAC .
A
B
C
F
E
D
证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠DEC =∠DFB =90°.
在△DEC 和△DFB 中,
∠DEC =∠DFB,
∠EDC =∠FDB,
CD=BD,
∴△DEC ≌△DFB（AAS）,
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC.
随堂训练
1、
填空：
(1) ∵∠1=∠2,DC⊥AC, DE⊥AB,
∴___________.
( ______________________________________ )
(2) ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE,
∴____________________________________
( ________________________________________________ )
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2（AD 是∠BAC 的角平分线）.
DC=DE
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、 如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交BC 于点E，PF∥AC 交
BC 于点F，点P 是AD上一点，且点D 到PE 的距离与到 PF 的距离
相等，判断AD 是否平分∠BAC，并说明理由.
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，
∴点D 在∠EPF 的平分线上.
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
3、如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F.
求证：点F 在∠DAE 的平分线上.
证明：
过点F 作FG⊥AE 于点G，FH⊥AD 于点H，FM⊥BC 于点M.
∵点F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F 在∠CBD 的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
4、已知：BD⊥AM 于点D,CE⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,
求证:点F 在∠A 的平分线上.
A
D
N
E
B
F
M
C
课堂小结
角平分线的判定
1、内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2、作用：证明角相等，判定一条射线是角平分线.
