北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲 轴对称含答案

轴对称
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
【要点梳理】
要点一、轴对称图形轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.　　要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.　　要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【典型例题】
类型一、判断轴对称图形
1、（2019?邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.
【答案】D；
【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.
【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.
举一反三：
【变式1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )
【答案】A；
提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.
【变式2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是　 　，它有　 条对称轴；最少的是　 　，它有　 条对称轴
【答案】直线、无数、角、1．

2、观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（　　）
A . B. C . D.
【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．
【答案】D；
【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的思想．
举一反三：
【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）
　A． B． C． D．
【答案】C.
类型二、轴对称或轴对称图形的应用

3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（ ）

A．60° B．67.5° C．72° D．75°
【答案】B；
【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°.
【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD的度数．
【答案】100°；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°
又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，点D为AB边的中点，
∴BD＝D，∠B＝∠DB＝40°，
∴∠BD＝180°－40°－40°＝100°.
【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若＝56°,则∠AED的大小是_______.
【答案】62°；
4、如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．
【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长．
【答案与解析】
解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME=PE，NF=PF，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于20cm，
∴MN=20cm．
【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019?漳州）下列图案属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，ΔABC与Δ关于直线对称，则∠B的度数为 （ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
3. 下列说法中错误的是( )
A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个三角形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合
4.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）
5. 下列说法错误的是（　　）
A. 若A，A′是以BC为轴对称的点，则AA′垂直平分BC
B. 线段的一条对称轴是它本身所在的直线
C. 一条线段的一个端点的对称点是另一个端点
D. 等边三角形是轴对称图形
6．将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
二.填空题
7. （2019?赤峰）下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是　 （填序号）
8．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有　 　个．
9. 如图，等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 ．
10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.
11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．
12．利用折纸的方法，将1条线段分成16段彼此相等的线段，需要折　 　次．
三.解答题
13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?
14.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，
（1）求线段MN的长，
（2）若∠AOB=30°，求OM的长．
15．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】根据轴对称图形的定义判断.
2. 【答案】D；
【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等.
3. 【答案】C；
【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称.
4. 【答案】A；
【解析】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．
由翻折得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．
故选：A．
5. 【答案】A；
【解析】A、应该是BC垂直平分AA′，故本选项错误；B、线段的一条对称轴是它本身所在的直线，故本选项正确；C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点，故本选项正确；D、等边三角形是轴对称图形，故本选项正确．
6. 【答案】B；
【解析】解：∵AE∥BF，
∴∠AEP=180°﹣∠BPE=180°﹣130°=50°．
又∵折叠后DE与BF相交于点P，设∠PEF=x，
即∠AEP+2∠PEF=180°，
即50°+2x=180°，
x=65°．
故选：B．
二.填空题
7.【答案】①②③④　．
8. 【答案】3；
【解析】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．
故答案为：3．
9. 【答案】6；
【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC的周长＝6.
10．【答案】70；
【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
11.【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝，∠CBD＝3，5＝90°，＝18°.
12.【答案】4；
【解析】因为24=16，所以需折4次．
三.解答题
13.【解析】
在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的.
14.【解析】
解：（1）根据题意，EP=EM，PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∴MN=20cm．
（2）连接OM、OP、ON，
∵M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∵∠AOB=30°，
∴∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴OM=ON=MN=20cm．
15.【解析】
解：如图所示，答案不唯一，参见下图．