江西省上饶市2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题（Word版）

上饶市2018- 2019学年度下学期期末教学质量测试
座位号
高二数学(理科)试题卷
命题人:
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．复数z=
1???
1+??
，则|z|＝（▲）
A．0 B．
1
2
C．1 D．
2
2．已知命题p：?x∈R，x2+2x﹣3＜0，则命题p的否定￢p为（▲）
A．?x0∈R，x02+2x0﹣3≥0 B．?x∈R，x2+2x﹣3≥0
．?x0∈R，x02+2x0﹣3＜0 D．?x∈R，x2+2x﹣3＜0
3．空间直角坐标系中，点A（10，4，﹣2）关于点M（0，3，﹣5）的对称点的坐标是（▲）
A．（﹣10，2，8） B．（﹣10，2，﹣8） C．（5，2，﹣8） D．（﹣10，3，﹣8）
4．函数f（x）＝ex+1在点（0，f（0））处的切线方程为（▲）
A．y＝x﹣1 B．y＝2x+2 C.y＝2x﹣1 D．y＝x+2
5．△ABC的两个顶点为A（﹣4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（▲）
A．
??
2
25
+
??
2
9
=1（y≠0） B．
??
2
25
+
??
2
9
=1（y≠0）
C．
??
2
16
+
??
2
9
=1 （y≠0） D．
??
2
16
+
??
2
9
=1 （y≠0）
6．计算：
?2
2

(2??+2)????=（▲）
A．﹣1 B．1 C．﹣8 D．8
7．观察下列等式，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102根据上述规律，13+23+33+43+53+63＝（▲）
A．192 B．202 C．212 D．222
8．已知点F是抛物线x2＝4y的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M（1，2）为平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（▲）
A．3 B．2 C．4 D．2
3
9．若函数f（x）＝x2+
??
??
+lnx在x＝1处取得极小值，则f（x）的最小值为（▲）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2
2
，PB⊥面ABC，M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=
3
，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为（▲）
A．
10
5
B．
15
5
C．
3
5
D．
4
5
11．已知双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x?
??
2
）2+y2=
??
2
16
相切，则双曲线的渐近线方程是（▲）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±
3
x D．y＝±
2
x
12．已知函数f（x）＝2x﹣ln（2x+2），g（x）＝e2x﹣a+4ea﹣2x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使得f（x0）+g（x0）＝3，则实数a的值为（▲）
A．﹣ln 2 B．ln 2 C．﹣1﹣ln2 D．﹣1+ln2
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，共20分。
13．函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣3|的最大值为▲．
14．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是▲．
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点G，E，D分别是棱A1B1，CC1，AC的中点，点F是棱AB上的点．若
????
→
?
????
→
=?1，则线段DF的长度为▲．
/
16．已知A，B是过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足
????
→
=3
????
→
，
??
△??????
=
2
2
3
|????|，则|AB|的值为▲．
三、解答题，共70分.
17．（本题10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
??=?1?
2
2
??
??=2+
2
2
??
，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（﹣1，2），求|PA|?|PB|．
18．（本题12分）设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4
（2）若关于x的不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
19．（本题12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值为?
4
3
，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）＝k有3个解，求实数k的取值范围．
20．（本题12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=
??
3
，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，点E为棱AD的中点．
（1）求证：面PEB⊥面ABCD；
（2）若AB＝PB＝2，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
/
21．（本题12分）已知椭圆E：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，F1，F2分别是它的左、右焦点，|F1F2|＝2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为k1，k2的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当k1k2＝﹣1时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由．
22．（本题12分）已知函数f（x）＝（ax+1）ex，a∈R
（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．
（2）当a=?
1
2
时，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜2．

1.C．
2.A．
3.B．
4.D
5.A．
6.D
7 C
8.A
9. B
10. B
11.D
12. C
13.1
14.（1，+∞）．
15..
2
．
16.9．
17．（1）直线l的参数方程为
??=?1?
2
2
??
??=2+
2
2
??
，（t为参数），
转换为直角坐标方程为：x+y﹣1＝0．
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
转化内直角坐标方程为：y＝x2，
（2）把直线l的参数方程为
??=?1?
2
2
??
??=2+
2
2
??
，（t为参数），代入y＝x2，
得到：
??
2
+
2
???2=0（t1和t2为A、B对应的参数），
所以：t1?t2＝﹣2，
则：|PA|?|PB|＝|t1?t2|＝2．
18．（1）f（x）≤4即为|x+1|+|x﹣1|≤4，
当x≤﹣1时，﹣x﹣1+1﹣x≤4，解得﹣2≤x≤﹣1；
当﹣1＜x＜1时，x+1+1﹣x≤4，可得﹣1＜x＜1；
当x≥1时，x+1+x﹣1≤4，解得1≤x≤2，
综上可得原不等式的解集为[﹣2，2]；
（2）关于x的不等式f（x）≥1恒成立，
即为|x+1|+|x﹣a|≥1恒成立，
由|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，
可得|a+1|≥1，解得a≥0或a≤﹣2．
19．（Ⅰ）f′（x）＝3ax2﹣b
由题意；
??′(2)=12?????
??(2)=8???2??+4=?
4
3
，解得
??=
1
3
??=4
，
∴所求的解析式为??(??)=
1
3
??
3
?4??+4
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）
令f′（x）＝0，得x＝2或x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0
因此，当x＝﹣2时，f（x）有极大值
28
3
，
当x＝2时，f（x）有极小值?
4
3
，
∴函数??(??)=
1
3
??
3
?4??+4的图象大致如图．
由图可知：?
4
3
＜??＜
28
3
．
/
20．（1）证明：∵PA＝PD，E为AD中点，∴PE⊥AD，
又∵ABCD为菱形且∠DAB＝60°，∴EB⊥AD，
∵PE∩EB＝E，∴AD⊥面PEB，
∵AD?面ABCD，∴面PEB⊥面ABCD；
（2）解：∵AB＝2，∠BAD＝60°，∴BE=
3
，PE＝1，
又PB＝2，∴PE2+EB2＝PB2，则PE⊥EB．
以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0），B（0，
3
，0），P（0，0，1），C（﹣2，
3
，0），
????
→
=(1，?
3
，0)，
????
→
=(0，?
3
，1)，
????
→
=(2，?
3
，1)．
设平面PBC的一个法向量为
??
→
=(??，??，??)．
由
??
→
?
????
→
=?
3
??+??=0
??
→
?
????
→
=2???
3
??+??=0
，取y＝1，得
??
→
=(0，1，
3
)．
设直线AB与平面PBC所成角为θ．
∴sinθ＝|cos＜
????
→
，
??
→
＞|=
|
????
→
?
??
→
|
|
????
→
|?|
??
→
|
=
3
2×2
=
3
4
．
/
21．（1）因为??=
??
??
=
2
2
，|
??
1
??
2
|=2??=2，所以c＝1，??=
2
，b2＝a2﹣c2＝1，
椭圆的方程为
??
2
2
+
??
2
=1；
（2）因为k1k2＜0，所以直线BC斜率存在
设直线lBC：y＝kx+m（m≠1），B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程
??=????+??，
??
2
+2
??
2
?2=0
，
消y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
??
1
+
??
2
=?
4????
2
??
2
+1
，
??
1
??
2
=
2
??
2
?2
2
??
2
+1
，（*）
又
??
1
??
2
=
??
1
?1
??
1
?
??
2
?1
??
2
=?1，理得（y1﹣1）（y2﹣1）+x1x2＝0，
即（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）+x1x2＝0，
所以（k2+1）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0（*）代入得
2(
??
2
+2)(
??
2
?1)
2
??
2
+1
?
4
??
2
??(???1)
2
??
2
+1
+(???1
)
2
=0，
整理得3m+1＝0得??=?
1
3
，所以直线BC过定点(0，?
1
3
)．
22．（1）当a＝1，f（x）＝（x+1）ex，
∴f′（x）＝（x+2）ex，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（﹣2）=?
1
??
2
．
（2）当a=?
1
2
时，f（x）＝（?
1
2
x+1）ex，
对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），
∵f′（x）＝（1﹣x）ex，
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
不妨设x1＜1＜x2，令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），（x＜1）
∴g′（x）=
1
2
（1﹣x）（ex﹣e2﹣x），
当x＜1时，1﹣x＞0，x＜2﹣x，ex﹣e2﹣x＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，1）单调递减，
∴g（x）＞g（1）＝f（1）﹣f（1）＝0，即f（x）﹣f（2﹣x）＞0，
不妨设x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，
由以上可知f（x1）＞f（2﹣x1），
∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2﹣x1），
∵x2＞1，2﹣x1＞1，
∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴x2＜2﹣x1，
∴x1+x2＜2
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日期：2019/8/27 11:34:07；用户：无问西东；邮箱：UID_40D436093F89917626264F1296D535EB@qq.jyeoo.com；学号：24811610