北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第1讲 幂的运算(提高)含答案

幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
/(其中/都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即/（/都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即/（/都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
/(其中/都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：/ (/，/均为正整数)
（2）逆用公式： /，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
/ (其中/是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：/ (/为正整数).
（2）逆用公式：/逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：/
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
/1、计算：
(1)/；
(2)/ ．
【答案与解析】
解：（1）/．
（2）/．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
/ /．
类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）/； （2）/；
（3）/； （4）/．
【答案与解析】
解：（1）//．
（2）//．
（3）//．
（4）//．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
/3、（2019春?南长区期中）已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求/x+2y的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．
【答案与解析】
解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，
列方程得：/，
解得：/，
则/x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．
举一反三：
【变式】已知/，则/＝ ．
【答案】－5；
提示：原式/　
　　　　 ∵/∴ 原式＝/＝－5.
类型三、积的乘方法则
/4、计算：
（1）/ （2）/
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）/．
（2）//．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①/ ②/ ③/
④/ ⑤/
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；/；/；/；/
【变式2】（2019春?泗阳县校级月考）计算：
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
（2）（2/）20?（/）21．
【答案】
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4?9a6＋16a10
=9a10＋16a10
=25a10；
（2）（2/）20?（/）21．
=（/×/）20?/
=1×/
=/．
/5、（2019秋?济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
　
【巩固练习】
一.选择题
1．下列计算正确的是( )．
A. / B./
C. / D./
2．/的结果是( )．
A.0 B./ C./ D. /
3．下列算式计算正确的是( )．
A./ B./
C./ D./
4．/可以写成( )．
A./ B./ C./ D./
5．下列计算中，错误的个数是( )．
①/ ②/ ③/
④/ ⑤//
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6．（2019?盐城）计算（﹣x2y）2的结果是（　　）
A．x4y2 B．﹣x4y2 C．x2y2 D．﹣x2y2
二.填空题
7．化简：(1)/＝_______；(2)/＝_______．
8.直接写出结果：
(1)/＝/； (2)/＝/；
(3)若/，则/＝______．
9.（2019春?靖江市期末）已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　 ．
10.若/，用/，/表示/可以表示为 ．
11.（2019?杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是　 　．
12.若整数/、/、/满足/，则/＝ ，/＝ ，/＝ ．
三.解答题
13.若/，求/的值．
14.（2018春?吉州区期末）已知ax=﹣2，ay=3．求：
（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．
15. 已知/，则/ .
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】/；/；/.
2. 【答案】A；
【解析】/.
3. 【答案】D；
【解析】/；/；/.
4. 【答案】C；
【解析】/；/；/.
5. 【答案】B；
【解析】①②④错误.
6. 【答案】D；
【解析】解：∵a?a3=a4，∴选项A不正确；
∵a4+a3≠a2，∴选项B不正确；
∵（a2）5=a10，∴选项C不正确；
∵（﹣ab）2=a2b2，∴选项D正确．
故选：D．
二.填空题
7. 【答案】/；/；
【解析】/；
/.
8. 【答案】/；/；/；
【解析】（3）/.
9. 【答案】/；
【解析】4m×32n=22m×25n=22m+5n，∵2m+5n+3=0，∴2m+5n=﹣3，∴4m×32n=2﹣3=/．
10.【答案】/；
【解析】/
11.【答案】b＞c＞a＞d；
【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511，
∵81＞64＞32＞25，
∴b＞c＞a＞d．
故答案为：b＞c＞a＞d．
12.【答案】/＝6，/＝6，/＝3；
【解析】/
/.
三.解答题
13.【解析】
解：/
∵/，
∴/
∴原式＝/.
14.【解析】
解：（1）ax+y=ax?by=﹣2×3=﹣6；
（2）a3x=（ax）3=（﹣2）3=﹣8；
（3）a3x+2y=（a3x）?（a2y）
=（ax）3?（ay）2
=（﹣2）3?32
=﹣8×9
=﹣72．
15.【解析】
解：∵/
∴/；
/
∴/；
∴/，/