北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习：第5讲 整式的除法(提高)（含答案）

整式的除法（提高）
【学习目标】
1. 会进行单项式除以单项式的计算．
2. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、单项式除以单项式
1、先化简，再求值．
，其中，，．
【答案与解析】
解：原式


．
当，，时，
．
【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．
2、观察下列单项式：，－2，4，－8，16，…
（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第个单项式；
（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．
【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（－2）÷＝－2；4÷（－2）＝－2；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第个单项式为；（2）并用此公式可写出第10个单项式的结果．
【答案与解析】
解：（1）－2，；
（2）第个单项式为，则第10个为－512．
【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、的指数的变化得出规律是解题的关键．
类型二、多项式除以单项式
3、计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算．
【答案与解析】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题．
举一反三：
【变式1】先化简，再求值．
（1），其中，；
（2）已知，求的值．
【答案】
解：（1）原式
．
当，时，原式．
（2）原式
．
由已知，得，即．
【变式2】（2019秋?梁平县校级期中）计算：[（﹣2a2b3）2﹣（3ab2）3]÷（﹣a2b3）．
【答案】解：原式=（4a4b6﹣27a3b6）÷（﹣a2b3）=﹣6a2b3+ab3．
4、已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，求这个多项式．
【答案与解析】
解： 所求的多项式为
．
【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余式，应牢记这一关系式．
举一反三：
【变式】（2019春?淮北期末）已知一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，则这条边的长是 　．
【答案】x﹣2y+3．
解：因为一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，
可得：2（3x2﹣6xy+9x）÷6x=x﹣2y+3，
故答案为：x﹣2y+3．
【巩固练习】
一.选择题
1.（2019?广元）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣ab2 B．3a+2a=5a2
C．（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 D．（2a+b）2=4a2+b2
2．若，则值是( )．
A.＝＝1 B.＝＝2
C.＝1，＝2 D.＝2，＝1
3．的结果是( )．
A.8 B.－8 C.2 D.8
4．下列计算中错误的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是( )
A. B.
C. D.
6. 计算除以后，得商式和余式分别为（ ）
A．商式为3，余式为 B．商式为3，余式为8
C．商式为3＋8，余式为 D．商式为3＋8，余式为0
二.填空题
7.（2019?宝应县校级模拟）计算：（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）=______________.
8. 一个长方形的面积是（）平方米，其长为（）米，用含有的整式表示它的宽为_______米.
9. (1)已知＝3，＝2，__________．
(2)已知＝6，＝8，___________．
10. 已知A是关于的四次多项式，且A÷＝B，那么B是关于的_______次多项式．
11. 若M，那么整式M＝____________．
12．若＝3，＝6，＝12，，，之间的数量关系是________．
三.解答题
13．先化简，再求值：
，其中＝2，＝－3．
14．（2019春?北京校级月考）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2．
15. 是否存在常数、使得能被整除？如果存在，求出、的值，否则请说明理由.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
【解析】解：A、（﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣a（3﹣2）b（6﹣4）=﹣ab2，故本选项正确；
B、3a+2a=（3+2）a=5a，故本选项错误；
C、（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故本选项正确；
D、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故本选项错误；
故选：A．
2. 【答案】A；
【解析】，所以，，＝1.
3. 【答案】A；
【解析】.
4. 【答案】D；
【解析】.
5. 【答案】C；
【解析】这个多项式为.
6. 【答案】A；
【解析】×商式＋余式＝.
二.填空题
7. 【答案】﹣3x2y2+5xy﹣y；
【解析】解：原式=21x4y3÷（﹣7x2y）﹣35x3y2÷（﹣7x2y）+7x2y2÷（﹣7x2y）
=﹣3x2y2+5xy﹣y．
8. 【答案】（）；
【解析】根据长方形的宽＝面积÷长，再利用整式的除法求解即可．
9. 【答案】(1)；(2)；
【解析】；.
10.【答案】三；
11.【答案】；
【解析】M＝.
12．【答案】；
【解析】，所以.
三.解答题
13.【解析】
解：原式＝
＝
＝
当＝2，＝－3时，原式＝.
14.【解析】
解：（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2
=（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷4a2
=﹣a﹣ab2+3b．
15. 【解析】
解：设

由等式左右两边对应系数相等可得：
, , ,
解得：，
所以、是存在的.