北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习：第10讲 平行线的性质及尺规作角(提高)（含答案）

平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解

【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3．了解尺规作图的基本知识及步骤；
4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
要点三、尺规作图
1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
要点诠释：
（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
2.八种基本作图（有些今后学到）：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
（6）已知一角、一边做等腰三角形．
（7）已知两角、一边做三角形．
（8）已知一角、两边做三角形．
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1.（2019春?荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）试说明OD平分∠AOG．
【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．
【答案与解析】
解：（1）∵AE∥OF，
∴∠FOB=∠A=30°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠FOB=30°，
∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；
（2）∵OF⊥OG，
∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，
∴∠AOD=∠DOG，
∴OD平分∠AOG．
【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．
举一反三：
【变式】（2019?青海）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=　 　．
【答案】32°
类型二、两平行线间的距离
2.下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3，图2
【解析】
解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2＝4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
举一反三：
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
类型三、尺规作图
3. 如图所示，已知∠和∠，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠-∠）．
【答案与解析】
作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠；
（2）以射线OD为一边，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠；
（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠；
（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠，则∠AOB就是所求作的角．
【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．
4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．
【答案与解析】
解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．
举一反三：
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
类型四、平行的性质与判定综合应用
5. (黄冈调考)如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．
【思路点拨】过P点作AB的平行线，问题便会迅速得到求解．
【答案与解析】
解： (1)∠A+∠C＝∠P； (2)∠A+∠P+∠C＝360°；
(3)∠A＝∠P+∠C； (4)∠C＝∠P+∠A．
现以（3）的结论加以证明如下：
如上图，过点P作PH∥AB ，因为AB∥CD，所以PH∥AB∥CD．
所以∠HPA＋∠A＝180°，即∠HPA＝180°－∠A；
∠HPA＋∠P＋∠C＝180°，即180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，也即∠A＝∠P+∠C．
【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙．都是过折点作平行线求解．
举一反三：
【变式1】如图，AB∥CD，∠ABG＝42°，∠CDE＝68°，∠DEF＝26°．
求证：BG∥EF．
【答案】如图，分别过点G、F、E作GP∥AB，FQ∥AB，ER∥CD，又因为AB∥CD，
所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ．
∴∠1＝42°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠5＋26°＝68°，
∴∠5＝68°－26°＝42°，且∠4＝∠5＝42°．
∴∠1＋∠2＝42°＋∠2；∠4＋∠3＝42°＋∠3．
∴∠1＋∠2＝42°＋∠3，即∠BGF＝∠GFE．
∴BG∥EF．
【变式2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( ) ．

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
平行线的性质及尺规作图（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是 ( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．不能确定
2．（2019?安徽模拟）如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（　　）
A．60° B．80° C．75° D．70°
3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝
150°，则∠C的度数为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( )
A．∠1＋∠2-∠3＝90°
B．∠2＋∠3-∠1＝180°
C．∠1-∠2＋∠3＝180°
D．∠1＋∠2＋∠3＝180°
5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的角有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2019湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ）
A．23° B．16° C．20° D．26°
7. 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )
A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2
二、填空题
8．（2019春?江苏月考）如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A=　 　．
9.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．
10.（2019四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3＝　　．
11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．
12.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是 _．
13.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：
①∠A＝∠EDF；②∠1＋∠2＝180°；③∠A＋∠B＋∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号)
三、解答题
14．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
15．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
16．（2019春?澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2=　 　；
（2）∠1+∠2+∠3=　 　 ；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4=　 　；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　 　．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.
2. 【答案】D；
【解析】∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵∠A=110°，
∴∠AFD=70°，
∴∠CFE=∠AFD=70°，
∵∠E=40°，
∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°，故选D．
3. 【答案】C；
【解析】解：如图，

∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.
4. 【答案】B；
【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中，
180°－∠2＋180°－∠3＋∠1＝180°，即有∠2＋∠3-∠1＝180°.
5. 【答案】A
【解析】与∠AOE相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC．
6. 【答案】C；
【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
7. 【答案】B；
【解析】，，所以．
二.填空题
8. 【答案】70°；
【解析】∵AD⊥DF，∴∠ADF=90°．
∵∠1=30°，∴∠ADE=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE=60°，
∵△ABC中，∠ABC=60°，∠2=50°，
∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°．故答案为：70°．
9.【答案】95°；
【解析】如图，过点E作EF∥AB．所以∠ABE＋∠FEB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠FEB＝180°-120°＝60°．又因为AB∥CD，EF∥AB，所以EF∥CD，所以∠FEC＝∠DCE＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC＝∠FEB＋∠FEC＝60°＋35°＝95°．

10.【答案】60°；
【解析】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，∴∠6＝65°，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠4＝55°，在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°，∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°．

11．【答案】20°；
【解析】根据题意画出示意图，可得：∠ABC＝80°－60°＝20°.

12.【答案】内错角相等，两直线平行；
13.【答案】①②③④；
【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF与∠1和∠3互补.
三.解答题
14.【解析】
解：∠1＝∠2．理由如下：
∵ AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴ ∠ADB＝∠EFB＝90°．
∴ AD∥EF(同位角相等，两直线平行)，
∴ ∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等)．
又∵ ∠3＝∠C(已知)，
∴ AC∥DG(同位角相等，两直线平行)．
∴ ∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠1＝∠2．
15.【解析】
解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．
∴ ∠A＋∠2＝180°，∠B＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵ ∠3＝∠1＋∠C，
∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝360°，
即∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°．
16.【解析】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．