人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2 等差数列

2.2 等差数列
知识
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第____________项起，每一项与它的前一项的差等于____________常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____________，公差通常用字母d表示．
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的____________．
3．等差数列的通项公式
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为____________．
4．等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式____________，可得．
当时，等号右边是关于自变量n的一次整式，一次项系数是等差数列的____________，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列；当时，，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
从图象上看（如下图），表示数列的各点，即点，均匀分布在一条直线上．
知识参考答案：
1．2 同一个 公差 2．等差中项 3． 4． 公差
重点
重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用
难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
易错
对等差数列的定义理解不深刻、忽略等差数列问题中的隐含条件
判断一个数列是否为等差数列
判断一个数列是否为等差数列的常用方法：
（1）定义法：或是等差数列；
（2）定义变形法：验证是否满足；
（3）等差中项法：为等差数列；
（4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列．
（1）已知数列的通项公式为，证明：数列为等差数列；
（2）已知数列的通项公式为，判断该数列是否为等差数列；
（3）若数列满足，证明：为等差数列；
（4）若成等差数列，证明：成等差数列．
【答案】见解析．
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以为等差数列．
（2）当时，，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，
但，即，所以该数列不是等差数列．
（3）由，将n替换为得，
两式相减并整理得，
由可得，
由等差数列的定义可知，为等差数列．
（4）因为成等差数列，所以，即．
又，
所以成等差数列．
【名师点睛】（1）通项公式法不能作为证明方法；（2）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；（3）要否定某数列是等差数列，说明其中连续三项不成等差数列即可．
求等差数列的通项公式
求等差数列的通项公式的两种思路：
（1）设出基本量，，利用条件构建方程组，求出，，即可写出等差数列的通项公式；
（2）已知等差数列中的两项时，则可不必求而直接写出等差数列的通项公式．
（1）在等差数列中，若+，，则_____________；
（2）在等差数列中，若，，则_____________；
（3）已知单调递减的等差数列的前三项之和为12，前三项之积为48，则_____________．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】（1）因为是等差数列，所以由+，可得， 解得，
所以．
（2）方法1：设的首项为，公差为，
则由，可得，即，
由整理可得，解得，
当时，，；当时，，．
方法2：同方法1可得，所以，解得，
当时，；当时，．
方法3：同方法1可得，所以，，
所以是方程的两根，易得或．
由得，所以；
由得，所以．
（3）方法1：根据题意可设等差数列的前三项为，根据已知条件建立方程组求解即可，此处不再赘述．
方法2：由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，
由已知条件可得，即，解得或，
因为数列单调递减，所以，从而．
【名师点睛】对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留的形式．
等差数列性质的应用
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）若，则．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）等差数列中依次k项之和仍组成等差数列，即数列是以为公差的等差数列．
（1）在等差数列中，若，则______________；
（2）在等差数列中，若，则______________；
（3）已知为等差数列，若，则______________．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方法1：设等差数列的公差为，
则，即，
所以．
方法2：由等差数列的性质可得，即，
所以．
（2）由题易知，即，所以．
（3）方法1：设出首项及公差，则由题意列方程组即可求解，此处不再赘述．
方法2：因为为等差数列，所以也成等差数列，
设其公差为，为第一项，则为第四项，
所以，即26，解得，
所以．
【名师点睛】一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．
利用一次函数的性质解等差数列问题
等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解．
等差数列中，则过点的直线斜率为______________．
【答案】
【解析】由数列是等差数列，可知是关于n的“一次函数”，
其图象是一条直线上的等间隔的点，因此过点的直线斜率即过点的直线的斜率，
所以直线MN的斜率．
【名师点睛】由例4易知，我们可以利用一次函数的性质证明：若，则．
证明过程如下：
易知点在同一条直线上，不妨设，设，
则直线AB的斜率．
如下图所示，易知，即点C的坐标为，故．
由递推关系构造等差数列求通项公式
由题设中的递推关系式构造等差数列的常见形式如下：
（1）转化为常数，则是等差数列；
（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；
（3）转化为常数，则是等差数列；
（4）转化为常数，则是等差数列．
已知数列满足：，，则数列的通项公式_____________．
【答案】
【解析】由，两边同时除以，得，即，
由等差数列的定义可知数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，故．
【名师点睛】当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出．
已知数列满足条件，，则_____________．
【答案】
【解析】由条件得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，则．
已知满足：，，求证是等差数列并求．
【答案】见解析．
【解析】由，可得，
由等差数列的定义可得数列是等差数列，且，故．
对等差数列的定义理解不深刻导致出错
若数列的通项公式为，求证：数列是等差数列．
【错解】因为，所以，，，
所以，，则，
故数列是等差数列．
【错因分析】由数列的通项公式求出的仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列．
【正解】因为，所以，
所以，所以数列是等差数列．
【名师点睛】数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的．若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列．但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列．
忽略等差数列问题中的隐含条件导致出错
若等差数列的首项，从第9项起各项都比1大，则这个等差数列的公差的取值范围是
A． B．
C． D．
【错解1】由题意可得，即，解得，故选A．
【错解2】由题意可得，即，解得，故选C．
【错因分析】应深刻理解“从第9项起各项都比1大”的含义，它不仅表明，而且还隐含了这一条件，所以上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
【正解】由题意可得，即，解得，故选D．
【名师点睛】解题时，应认真阅读题干，正确理解题目所给条件的准确含义，这是正确解题的前提．
基础训练
1．在等差数列中，，，则
A．11 B．22
C．29 D．12
2．已知，，则的等差中项为
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的公差为，则（为常数且）是
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对
4．在等差数列中，已知，，，则
A．48 B．49
C．50 D．51
5．已知某等差数列的相邻四项分别为a+1，a+3，b，a+b，那么a，b的值依次为
A．2，7 B．1，6
C．0，5 D．无法确定
6．已知是等差数列，且，，则
A．24 B．27
C．30 D．33
7．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A．5 B．4
C．3 D．2
8．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．无法确定
9．在等差数列中，已知，，，且，则_____________．
10．在等差数列中，，则_____________．
11．在数列中，，，则是这个数列的第_____________项．
12．已知等差数列的第10项为23，第25项为?22，则此数列的通项公式为_____________．
13．已知数列的通项公式为，试判断该数列是否为等差数列．
14．已知数列中，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项和最小项．
能力提升
15．若等差数列满足递推关系，则
A． B．
C． D．
16．等差数列中，已知，，公差，则的最大值为
A．5 B．6
C．7 D．8
17．已知数列是等差数列，若，则
A． B．
C． D．
18．在正整数100至500之间能被11整除的数的个数为
A．34 B．35
C．36 D．37
19．已知等差数列的首项，第10项是第一个比1大的项，则公差的取值范围是
A． B．
C． D．
20．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需几日相逢.
A．9 B．8
C．16 D．12
21．在等差数列中，若，则的通项公式为_____________．
22．在等差数列中，，（），则的值为______________．
23．已知数列是等差数列，若，且，则______________．
24．已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）．
（1）若，求公差；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围．
25．已知数列的各项为正数，其前项和满足，设．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值；
（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
真题练习
26．（2019浙江模拟）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，表示点P与 Q不重合．若为的面积，则
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
27．（2018北京理）设是等差数列，且，，则的通项公式为______________．
28．（2019江苏模拟）对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

参考答案
1．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，因为，
所以故选C．
2．【答案】A
【解析】因为，，，所以的等差中项．故选A．
3．【答案】B
【解析】因为，所以是公差为的等差数列，故选B．
4．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为．因为，，所以，
则，解得，故选C．
7．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为．设，，
两式相减得，所以，故选C．
8．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则，
因为所以
解得，所以的通项公式为．故选A．
9．【答案】
【解析】因为与的等差中项是，所以．
10．【答案】74
【解析】由等差数列的性质可知，所以．
12．【答案】
【解析】因为，，
所以．
13．【答案】数列是等差数列．
【解析】因为，
且为常数，由等差数列的定义，可知数列是等差数列．
14．【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．
【思路分析】（1）因为， ，即可得到；（2）由（1）知，则，设，利用函数的单调性，即可得到结论．
【解析】（1）因为，，
所以
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知，则．
设，则在区间和上为减函数．
所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．
故数列中的最小项为且，最大项为且．
15．【答案】B
【解析】令，得；令，得，
两式相加，得，所以，故选B．
16．【答案】C
【解析】由，得，
因为，所以当时，n取最大值7．故选C．
17．【答案】B
【解析】，，．故选B．
19．【答案】D
【解析】根据题意得，解这个不等式组可得，故选D．
20．【答案】A
【解析】由题意可知，良马每日行程构成数列， ，驽马每日行程构成数列， ，假设第天相逢，由题意知，解得，故选A．
21．【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，由题意有，解得，
所以的通项公式为．
22．【答案】
【解析】因为公差所以．
23．【答案】
【解析】由条件可得，
所以．
25．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）当时，，∴．
当时，，
即，∴，
∴，∴，
∴，则是等差数列，．
（2），，
∵，∴是等差数列，
∴，
当时，．
（3）由（1）知．
要使成等差数列，必须，
即，整理得，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当时，；
当时，；
当时，．
故存在正整数t，使得成等差数列．
26．【答案】A
【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么需要知道的关系式．
由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，则，把n换成n+1可得，
作差后：，为定值，所以是等差数列．故选A．
27．【答案】
【解析】因为，，所以，解得，所以．
28．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【思路分析】（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可．
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，
因此，当时，，①
当时，．②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．