人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 等差数列的前n项和
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 等差数列的前n项和 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 693.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-10 12:30:52 | ||
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文档简介
2.3 等差数列的前n项和
知识
1．数列前n项和的概念
一般地，我们称______________为数列的前n项和，用表示，即．由此易得与的关系为．
2．等差数列的前n项和公式
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为
，或．
3．等差数列前n项和公式的函数特性
在等差数列中，．
令，，可得，则
（1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点；
（2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点．
4．等差数列前n项和的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）．
（2）若数列共有项，则，，
；若数列共有项，则，．
（3），．
（4）构成公差为的等差数列．
（5）．
特别地，当时，；当，时，．
知识参考答案：
1．
2．
3．
重点
重点
等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算
难点
等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题
易错
解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项
由前n项和求通项公式
（1）已知求通项公式：利用即可求解；
（2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求．
已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式____________．
【答案】．
【解析】当时，；
当时，，
而，故数列的通项公式为．
已知数列的前n项和为，若，求证：是等差数列，并求．
【答案】证明见解析，．
【解析】当时，，由，可得，
因为，两边同时除以可得，
所以数列是等差数列．
因为，，所以，即．
当时，，
故．
【名师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件．
等差数列前n项和的基本量计算
在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组．
因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径．
在等差数列中，（1）若，，则____________；
（2）若，则____________；
（3）若，，则____________．
【答案】（1）32；（2）54；（3）184．
【解析】（1）方法1：因为，，所以，解得，
所以．
方法2：因为，所以，即，
所以，所以．
（2）方法1：因为，所以，
所以．
方法2：因为，所以．
（3）根据已知条件利用等差中项可得，，则．
【名师点睛】求数列的基本量的基本方法是建立方程组，或者运用等差数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的．
等差数列前n项和的性质及应用
一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为____________．
【答案】
【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，
解得，，故．
方法2：易知数列成等差数列，设其公差为d，
则前3项和为，即，又，所以，
所以，
所以．
方法3：设，则，
解得，故，
所以．
方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，
即，，三点共线，
于是，将，代入解得．
方法5：因为，
又，所以，所以．
方法6：利用性质：，可得．
方法7：利用性质：当，时，．
由于，，可得．
【名师点睛】（1）通过一题多解可清晰地看到，虽然方法1是此类问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度．
（2）对于方法4，我们可以证明：是等差数列，且，，成等差数列，其实质是成等差数列．
（3）为等差数列为常数．
（1）设是等差数列的前n项和，若，则____________；
（2）若数列，的前n项和分别为，且，则____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得．
（2）由等差数列前n项和的性质得
【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质（2）求解；涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理．
与等差数列有关的前n项和的最值问题
设等差数列的首项为，公差为d，则
，
有最大值，无最小值
，
只有前面的有限项为非负数，有最大值，无最小值
，
只有前面的有限项为负数，有最小值，无最大值
，
有最小值，无最大值
数列为常数列
已知等差数列的前n项和为，公差为d．
（1）若，，且最大，则整数____________；
（2）若，，且最大，则整数____________．
【答案】（1）1009；（2）13．
【解析】（1）由等差数列的性质可知，，所以，
又，即，
结合可得，因此最大，故．
（2）方法1：由，可得，解得，
则，
显然最大，故．
方法2：同方法1得，故，
显然对于，当时，；当时，．
故最大，．
方法3：由于设是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点，由，可得，的对称轴为，易知图象开口向下，故最大，即最大，故．
【名师点睛】由于，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．
数列求和问题
对于数列求和问题，有以下几种类型：
1．求数列的前n项和
求和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
已知等差数列的前n项和，求数列的前n项和．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，
且，所以．
显然，当时，；当时，；当时，．
故当时，
当时，．
综上，
【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号，找准临界值，分类讨论进行求解．
2．倒序相加求前n项和
教材中等差数列的前n项和公式的推导采用的就是倒序相加法，此处不再赘述．
3．裂项相消求和
裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们在求和的过程中出现相同的项，且这些项能够相互抵消，从而将求n个数的和的问题转化为求几个数的和的问题．
已知数列的通项公式为，则其前n项和____________．
【答案】
【解析】因为，
所以．
【名师点睛】在应用裂项相消法求和时应注意：①把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；②在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．
已知数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的值．
【答案】．
【解析】由可得，
当时，，从而数列的通项公式为．
当时，由得，
上述两式相减，可得，．
当时，得，，符合上式，
故数列的通项公式为．
从而．
忽略等差数列中为0的项而出错
设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，，则当n为何值时取得最大值？
【错解】由，可得，即，
由可知，解不等式组
即得．
又，故当时取得最大值．
【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【正解1】由，得，即，
由可知，解不等式组
即得．
由可知，当或时取得最大值．
【正解2】由，可得，
所以，
由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大．
【正解3】由，得，即，，
由可知，故当或时取得最大值．
【名师点睛】在等差数列中，若，，则
（1）为偶数当时最大；
（2）为奇数当或时最大．
基础训练
1．设等差数列的前项和为，若，，则
A．180 B．90
C．72 D．100
2．设等差数列的前n项和为，若，则可计算出
A． B．
C． D．以上都不对
3．在等差数列中，，前7项和，则其公差是
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，则的值为
A． B．
C． D．
5．若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有
A．3项 B．12项
C．11项 D．10项
6．已知数列的前项和为，若，，则
A．90 B．121
C．119 D．120
7．已知等差数列的公差为正数，前项和为，且，，则为
A． B．
C． D．
8．若数列满足且，则使的的值为
A． B．
C． D．
9．设为等差数列的前项和，若，则______________．
10．数列是等差数列，是它的前项和，已知，，则______________．
11．若等差数列的前项和，则通项公式______________．
12．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为263，则______________．
13．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇；
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
14．已知等差数列中，，．
（1）求公差的值；
（2）求数列的前项和的最小值．
能力提升
15．设为等差数列的前项和，若，公差，则的值为
A．5 B．6
C．7 D．8
16．已知等差数列的前项和为，若，，，则的值为
A．17 B．16
C．15 D．14
17．已知数列为等差数列，若且它的前项和有最大值，则使成立的的最大值为
A． B．
C． D．
18．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；
②；
③；
④数列中的最大项为；
⑤．
其中正确命题的个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
19．已知等差数列的前项和为，若，，则______________．
20．已知等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为______________．
21．（1）设是等差数列的前n项和，若，则______________；
（2）若数列，的前n项和分别为，且，则______________．
22．已知各项均为正数的数列中，，是数列的前n项和．若对任意的，．
（1）求常数p的值；
（2）求．
23．已知数列的前项和，求数列的前项和．
24．已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）求的表达式；
（3）若，求证：．
真题练习
25．（2018新课标全国Ⅰ理）设为等差数列的前项和，若，，则
A． B．
C． D．
26．（2019重庆模拟）已知等差数列前9项的和为27，，则
A．100 B．99
C．98 D．97
27．（2019湖南模拟）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
28．（2018北京理）设是等差数列，且，，则的通项公式为______________．
29．（2019江苏模拟）已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是______________．
30．（2019浙江模拟）等差数列的前项和为，，，则______________．
31．（2018新课标全国Ⅱ理）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
32．（2019山东模拟）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
参考答案
1．【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，从而，故选B．
2．【答案】B
【解析】由于，所以，故选B．
5．【答案】B
【解析】设此等差数列共有项，由题可得，，
上述两式相加可得，所以又，解得，故选B．
6．【答案】D
【解析】因为，所以，令，解得．故选D．
7．【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，，又，所以a3，a7是方程的两根，又公差，所以，从而，，所以．故选A．
8．【答案】C
【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，解得，则，故选C．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】由等差数列的性质可知，，成等差数列，所以，把，代入上式可得．
11．【答案】
【解析】方法1：；当时，．因为也适合上式，所以．
方法2：，，所以．
13．【答案】（1）7分钟；（2）15分钟．
【解析】（1）设n分钟后相遇，依题意得，
整理得，解得或（舍去），所以开始运动后7分钟相遇．
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有，
整理得，解得或（舍去），第2次相遇在开始运动后15分钟．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
因为，所以．
（2）由（1）可得，
令，得，所以．
所以的最小值为．
15．【答案】B
【解析】因为数列的前项和与满足关系式，所以有，
又为等差数列，所以，故选B．
17．【答案】B
【解析】等差数列的前项和有最大值，则公差，则，
若，则，，与已知矛盾，故，
则由得，，所以，，
因此使的的最大值为．故选B．
18．【答案】B
【解析】因为，，所以，①正确；
，②正确；
，，③不正确；
因为，所以数列的最大项为，④不正确；
因为，所以，⑤正确．故选B．
19．【答案】
【解析】，所以．
20．【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，
则，
，所以
21．【答案】
【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得．
（2）由等差数列前n项和的性质得
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】由及，得，所以．
由，得，
①－②可得，所以，
由于，所以，即，
由等差数列的定义可得数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以．
23．【答案】．
【解析】当时，；
当，
因为时适合上式，所以的通项公式为．
由，得，即当时，；当时，．
①当时，
②当时，
综上，可得．
24．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，所以，
当时，，
当时，，所以．
（3）由（2）可得，
所以，故．
25．【答案】B
【解析】设数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B．
【名师点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的前项和公式，求出公差，之后利用等差数列的通项公式求．
26．【答案】C
【解析】由已知所以故选C．
27．【答案】C
【解析】设公差为，，
，联立解得，故选C．
【秒杀解】因为，即，
则，即，解得，故选C．
28．【答案】
【解析】因为，所以，解得，所以．
29．【答案】20
【解析】由得，因此
30．【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．
31．【答案】（1），（2），最小值为．
【思路分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出公差，再代入的等差数列通项公式即可；（2）根据等差数列的前项和公式可得，根据二次函数的对称轴及自变量为正整数可求的最小值．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列的最值问题可利用函数的性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件．
32．【答案】（1）；（2）24．
【解析】（1）设数列的公差为d，
由题意有，，解得，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，
当1，2，3时，；当4，5时，；
当6，7，8时，；当9，10时，，
所以数列的前10项和为．
知识
1．数列前n项和的概念
一般地，我们称______________为数列的前n项和，用表示，即．由此易得与的关系为．
2．等差数列的前n项和公式
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为
，或．
3．等差数列前n项和公式的函数特性
在等差数列中，．
令，，可得，则
（1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点；
（2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点．
4．等差数列前n项和的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）．
（2）若数列共有项，则，，
；若数列共有项，则，．
（3），．
（4）构成公差为的等差数列．
（5）．
特别地，当时，；当，时，．
知识参考答案：
1．
2．
3．
重点
重点
等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算
难点
等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题
易错
解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项
由前n项和求通项公式
（1）已知求通项公式：利用即可求解；
（2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求．
已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式____________．
【答案】．
【解析】当时，；
当时，，
而，故数列的通项公式为．
已知数列的前n项和为，若，求证：是等差数列，并求．
【答案】证明见解析，．
【解析】当时，，由，可得，
因为，两边同时除以可得，
所以数列是等差数列．
因为，，所以，即．
当时，，
故．
【名师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件．
等差数列前n项和的基本量计算
在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组．
因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径．
在等差数列中，（1）若，，则____________；
（2）若，则____________；
（3）若，，则____________．
【答案】（1）32；（2）54；（3）184．
【解析】（1）方法1：因为，，所以，解得，
所以．
方法2：因为，所以，即，
所以，所以．
（2）方法1：因为，所以，
所以．
方法2：因为，所以．
（3）根据已知条件利用等差中项可得，，则．
【名师点睛】求数列的基本量的基本方法是建立方程组，或者运用等差数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的．
等差数列前n项和的性质及应用
一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为____________．
【答案】
【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，
解得，，故．
方法2：易知数列成等差数列，设其公差为d，
则前3项和为，即，又，所以，
所以，
所以．
方法3：设，则，
解得，故，
所以．
方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，
即，，三点共线，
于是，将，代入解得．
方法5：因为，
又，所以，所以．
方法6：利用性质：，可得．
方法7：利用性质：当，时，．
由于，，可得．
【名师点睛】（1）通过一题多解可清晰地看到，虽然方法1是此类问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度．
（2）对于方法4，我们可以证明：是等差数列，且，，成等差数列，其实质是成等差数列．
（3）为等差数列为常数．
（1）设是等差数列的前n项和，若，则____________；
（2）若数列，的前n项和分别为，且，则____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得．
（2）由等差数列前n项和的性质得
【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质（2）求解；涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理．
与等差数列有关的前n项和的最值问题
设等差数列的首项为，公差为d，则
，
有最大值，无最小值
，
只有前面的有限项为非负数，有最大值，无最小值
，
只有前面的有限项为负数，有最小值，无最大值
，
有最小值，无最大值
数列为常数列
已知等差数列的前n项和为，公差为d．
（1）若，，且最大，则整数____________；
（2）若，，且最大，则整数____________．
【答案】（1）1009；（2）13．
【解析】（1）由等差数列的性质可知，，所以，
又，即，
结合可得，因此最大，故．
（2）方法1：由，可得，解得，
则，
显然最大，故．
方法2：同方法1得，故，
显然对于，当时，；当时，．
故最大，．
方法3：由于设是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点，由，可得，的对称轴为，易知图象开口向下，故最大，即最大，故．
【名师点睛】由于，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．
数列求和问题
对于数列求和问题，有以下几种类型：
1．求数列的前n项和
求和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
已知等差数列的前n项和，求数列的前n项和．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，
且，所以．
显然，当时，；当时，；当时，．
故当时，
当时，．
综上，
【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号，找准临界值，分类讨论进行求解．
2．倒序相加求前n项和
教材中等差数列的前n项和公式的推导采用的就是倒序相加法，此处不再赘述．
3．裂项相消求和
裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们在求和的过程中出现相同的项，且这些项能够相互抵消，从而将求n个数的和的问题转化为求几个数的和的问题．
已知数列的通项公式为，则其前n项和____________．
【答案】
【解析】因为，
所以．
【名师点睛】在应用裂项相消法求和时应注意：①把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；②在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．
已知数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的值．
【答案】．
【解析】由可得，
当时，，从而数列的通项公式为．
当时，由得，
上述两式相减，可得，．
当时，得，，符合上式，
故数列的通项公式为．
从而．
忽略等差数列中为0的项而出错
设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，，则当n为何值时取得最大值？
【错解】由，可得，即，
由可知，解不等式组
即得．
又，故当时取得最大值．
【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【正解1】由，得，即，
由可知，解不等式组
即得．
由可知，当或时取得最大值．
【正解2】由，可得，
所以，
由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大．
【正解3】由，得，即，，
由可知，故当或时取得最大值．
【名师点睛】在等差数列中，若，，则
（1）为偶数当时最大；
（2）为奇数当或时最大．
基础训练
1．设等差数列的前项和为，若，，则
A．180 B．90
C．72 D．100
2．设等差数列的前n项和为，若，则可计算出
A． B．
C． D．以上都不对
3．在等差数列中，，前7项和，则其公差是
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，则的值为
A． B．
C． D．
5．若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有
A．3项 B．12项
C．11项 D．10项
6．已知数列的前项和为，若，，则
A．90 B．121
C．119 D．120
7．已知等差数列的公差为正数，前项和为，且，，则为
A． B．
C． D．
8．若数列满足且，则使的的值为
A． B．
C． D．
9．设为等差数列的前项和，若，则______________．
10．数列是等差数列，是它的前项和，已知，，则______________．
11．若等差数列的前项和，则通项公式______________．
12．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为263，则______________．
13．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇；
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
14．已知等差数列中，，．
（1）求公差的值；
（2）求数列的前项和的最小值．
能力提升
15．设为等差数列的前项和，若，公差，则的值为
A．5 B．6
C．7 D．8
16．已知等差数列的前项和为，若，，，则的值为
A．17 B．16
C．15 D．14
17．已知数列为等差数列，若且它的前项和有最大值，则使成立的的最大值为
A． B．
C． D．
18．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；
②；
③；
④数列中的最大项为；
⑤．
其中正确命题的个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
19．已知等差数列的前项和为，若，，则______________．
20．已知等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为______________．
21．（1）设是等差数列的前n项和，若，则______________；
（2）若数列，的前n项和分别为，且，则______________．
22．已知各项均为正数的数列中，，是数列的前n项和．若对任意的，．
（1）求常数p的值；
（2）求．
23．已知数列的前项和，求数列的前项和．
24．已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）求的表达式；
（3）若，求证：．
真题练习
25．（2018新课标全国Ⅰ理）设为等差数列的前项和，若，，则
A． B．
C． D．
26．（2019重庆模拟）已知等差数列前9项的和为27，，则
A．100 B．99
C．98 D．97
27．（2019湖南模拟）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
28．（2018北京理）设是等差数列，且，，则的通项公式为______________．
29．（2019江苏模拟）已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是______________．
30．（2019浙江模拟）等差数列的前项和为，，，则______________．
31．（2018新课标全国Ⅱ理）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
32．（2019山东模拟）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
参考答案
1．【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，从而，故选B．
2．【答案】B
【解析】由于，所以，故选B．
5．【答案】B
【解析】设此等差数列共有项，由题可得，，
上述两式相加可得，所以又，解得，故选B．
6．【答案】D
【解析】因为，所以，令，解得．故选D．
7．【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，，又，所以a3，a7是方程的两根，又公差，所以，从而，，所以．故选A．
8．【答案】C
【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，解得，则，故选C．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】由等差数列的性质可知，，成等差数列，所以，把，代入上式可得．
11．【答案】
【解析】方法1：；当时，．因为也适合上式，所以．
方法2：，，所以．
13．【答案】（1）7分钟；（2）15分钟．
【解析】（1）设n分钟后相遇，依题意得，
整理得，解得或（舍去），所以开始运动后7分钟相遇．
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有，
整理得，解得或（舍去），第2次相遇在开始运动后15分钟．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
因为，所以．
（2）由（1）可得，
令，得，所以．
所以的最小值为．
15．【答案】B
【解析】因为数列的前项和与满足关系式，所以有，
又为等差数列，所以，故选B．
17．【答案】B
【解析】等差数列的前项和有最大值，则公差，则，
若，则，，与已知矛盾，故，
则由得，，所以，，
因此使的的最大值为．故选B．
18．【答案】B
【解析】因为，，所以，①正确；
，②正确；
，，③不正确；
因为，所以数列的最大项为，④不正确；
因为，所以，⑤正确．故选B．
19．【答案】
【解析】，所以．
20．【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，
则，
，所以
21．【答案】
【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得．
（2）由等差数列前n项和的性质得
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】由及，得，所以．
由，得，
①－②可得，所以，
由于，所以，即，
由等差数列的定义可得数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以．
23．【答案】．
【解析】当时，；
当，
因为时适合上式，所以的通项公式为．
由，得，即当时，；当时，．
①当时，
②当时，
综上，可得．
24．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，所以，
当时，，
当时，，所以．
（3）由（2）可得，
所以，故．
25．【答案】B
【解析】设数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B．
【名师点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的前项和公式，求出公差，之后利用等差数列的通项公式求．
26．【答案】C
【解析】由已知所以故选C．
27．【答案】C
【解析】设公差为，，
，联立解得，故选C．
【秒杀解】因为，即，
则，即，解得，故选C．
28．【答案】
【解析】因为，所以，解得，所以．
29．【答案】20
【解析】由得，因此
30．【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．
31．【答案】（1），（2），最小值为．
【思路分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出公差，再代入的等差数列通项公式即可；（2）根据等差数列的前项和公式可得，根据二次函数的对称轴及自变量为正整数可求的最小值．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列的最值问题可利用函数的性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件．
32．【答案】（1）；（2）24．
【解析】（1）设数列的公差为d，
由题意有，，解得，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，
当1，2，3时，；当4，5时，；
当6，7，8时，；当9，10时，，
所以数列的前10项和为．