数学高中人教版A必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法（第1课时）

第三章　不等式
3.2　一元二次不等式及其解法
3.2　一元二次不等式及其解法(第1课时)
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:观察不等式x2-4x<0和-x2+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么?
问题2:请尝试求解不等式x2-4x<0.
问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学们用这种方法求不等式-x2+x+2>0的解集.
问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的什么特征?
问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)解集吗?相应的二次函数图象与x轴的交点情形确定吗?由谁决定?怎么处理?(分类讨论)请大家探究.
根据探究的情形,完成下表:
Δ
三个“二次”　　　　
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
续表
Δ
三个“二次”　　　　
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
问题6:当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成下面的程序框图.
/
二、运用规律,解决问题
【例题】解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;
(2)-x2+2x-3>0.
三、变式训练,深化提高
变式训练1:解下列不等式:
(1)-x2+2x+8≥0;
(2)x2-6x+9≤0.
变式训练2:请同学们自己编两道解一元二次不等式的题目,并由同位给出解答,交流解答结果.
四、反思小结,观点提炼
问题7:本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一般的不等式f(x)>0可以求解吗?具体步骤是什么?类似的你能用这种方法求不等式f(x)>k的解集吗?
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2;一元二次不等式;ax2+bx+c>0(<0)(a≠0).
问题2:(数形结合)设f(x)=x2-4x,画出其图象.
/
容易知道方程x2-4x=0的根x1=0,x2=4,就是函数f(x)=x2-4x的零点,也就是函数f(x)=x2-4x的图象与x轴交点的横坐标.
而不等式x2-4x<0的解集,即f(x)<0的解集,也就是函数f(x)=x2-4x图象在x轴下方的部分对应的横坐标的取值集合为{x|0(化归转化)不等式x2-4x<0可以化为x(x-4)<0,由“符号法则”得
??<0,
??-4>0
或
??>0,
??-4<0.
解得{x|0问题3:函数思想、数形结合思想和化归转化思想;数形结合;{x|-1问题4:开口方向和图象与x轴交点的横坐标.
问题5:能;不确定;判别式Δ;分类讨论.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
/
/
/
一元二次方程
ax2+bx+c=0
有两相异实根
x1,x2(x1有两相等实根
x1=x2=-
b
2a
无实根
ax2+bx+c>0(a>0)
的解集
{x|xx2}
x
x≠-
b
2a
R
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1?
?
问题6:可利用不等式的基本性质,将二次项系数化为正;当然也可以考虑其图象求解.
/
二、运用规律,解决问题
【例题】解:(1)因为Δ=0,方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=
1
2
.
所以,原不等式的解集是
??
??≠
1
2
.
(2)整理,得x2-2x+3<0.
因为Δ<0,方程x2-2x+3=0无实数解,
所以不等式x2-2x+3<0的解集是?.
从而,原不等式的解集是?.
三、变式训练,深化提高
变式训练1:解:(1)不等式可化为x2-2x-8≤0,
因为Δ>0,方程x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,而函数y=x2-2x-8的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤4}.
(2)注意到x2-6x+9=(x-3)2≥0,
所以,原不等式的解集为{x|x=3}.
四、反思小结,观点提炼
问题7:函数与方程思想;可以;画出函数y=f(x)的图象,求出函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,即方程f(x)=0的根,然后根据函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系,即可得出相应不等式的解;只需将x轴,换做直线y=k即可.