数学高中人教A版必修4学案：2.2.3向量数乘运算及其几何意义
文档属性
| 名称 | 数学高中人教A版必修4学案：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 66.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-11 14:58:47 | ||
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文档简介
第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.
2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.
3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:向量加法的运算法则?
问题2:向量减法的几何意义?
问题3:一质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果??
二、学生探索,尝试解决
问题1:向量的加法:
问题2:向量的减法:
问题3:3a.
三、信息交流,揭示规律
问题4:已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗?
(1)相加后,和的长度和方向有什么变化?
(2)这些变化与哪些因素有关?
1.数乘的定义: .?
(1) ;?
(2)当λ>0时, ;?
当λ<0时, .?
由(1)可知,当λ=0或a=0时, .?
问题5:求作向量3(2a)和6a(a为非零向量),并进行比较.
问题6:已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并进行比较.
2.向量数乘的运算律
设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:
结合律: .?
第一分配律: .?
第二分配律: .?
问题7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?
问题8:如果b=λa(a≠0),那么,向量a与b是否共线?
问题9:b与非零向量a共线,那么,b=λa?
3.向量共线定理
四、运用规律,解决问题
【例1】计算
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
【例2】已知任意两非零向量a,b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么?
五、变式演练,深化提高
练习1:若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R,若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在一条直线上?
练习2:设a,b是不共线的两个非零向量,
(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业)
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?(经过学生短暂梳理,小组发言)
布置作业
课本P90练习第3,4,5,6题.
参考答案
二、学生探索,尝试解决
问题1:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点).
问题2:OA=a,OB=b,则BA=a-b.
问题3:a+a+a.
三、信息交流,揭示规律
问题4:
3a与a方向相同且3a=3a;
-2a与a方向相反且-2a=2a.
1.数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下:
(1)λa=λa;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,当λ=0或a=0时,λa=0.
问题5:
问题6:
2.结合律:λ(μa)=(λμ)a
第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa
第二分配律:λ(a+b)=λa+λb
问题7:数乘向量与原向量共线.
问题8:共线.
问题9:不成立.
3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)原式=-12a.
(2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b.
(3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c.
【例2】解:作图如下(过程略)
依图观察,知A,B,C三点共线.
证明如下:
∵AC=OC?OA=(a+3b)-(a+b)=2b,
又AB=OB?OA=(a+2b)-(a+b)=b,
∴AC=2AB,又AB与AC有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
五、变式演练,深化提高
练习1解:设存在实数m,使得a-tb=m[a-13(a+b)],
化简得(23m-1)a=(m3-t)b,
∵a与b不共线,∴23m-1=0,m3-t=0?m=32,t=12.
∴t=12时,a,tb,13(a+b)的终点在一条直线上.
练习2:解:(1)证明:∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b.
而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,
∴AB与BC共线,且有公共端点B,∴A,B,C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a与b是不共线的两个非零向量,
∴8-λk=0,k-2λ=0,消去λ得8-12k2=0,∴k=±4.
2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.
2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.
3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:向量加法的运算法则?
问题2:向量减法的几何意义?
问题3:一质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果??
二、学生探索,尝试解决
问题1:向量的加法:
问题2:向量的减法:
问题3:3a.
三、信息交流,揭示规律
问题4:已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗?
(1)相加后,和的长度和方向有什么变化?
(2)这些变化与哪些因素有关?
1.数乘的定义: .?
(1) ;?
(2)当λ>0时, ;?
当λ<0时, .?
由(1)可知,当λ=0或a=0时, .?
问题5:求作向量3(2a)和6a(a为非零向量),并进行比较.
问题6:已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并进行比较.
2.向量数乘的运算律
设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:
结合律: .?
第一分配律: .?
第二分配律: .?
问题7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?
问题8:如果b=λa(a≠0),那么,向量a与b是否共线?
问题9:b与非零向量a共线,那么,b=λa?
3.向量共线定理
四、运用规律,解决问题
【例1】计算
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
【例2】已知任意两非零向量a,b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么?
五、变式演练,深化提高
练习1:若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R,若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在一条直线上?
练习2:设a,b是不共线的两个非零向量,
(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业)
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?(经过学生短暂梳理,小组发言)
布置作业
课本P90练习第3,4,5,6题.
参考答案
二、学生探索,尝试解决
问题1:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点).
问题2:OA=a,OB=b,则BA=a-b.
问题3:a+a+a.
三、信息交流,揭示规律
问题4:
3a与a方向相同且3a=3a;
-2a与a方向相反且-2a=2a.
1.数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下:
(1)λa=λa;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,当λ=0或a=0时,λa=0.
问题5:
问题6:
2.结合律:λ(μa)=(λμ)a
第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa
第二分配律:λ(a+b)=λa+λb
问题7:数乘向量与原向量共线.
问题8:共线.
问题9:不成立.
3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)原式=-12a.
(2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b.
(3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c.
【例2】解:作图如下(过程略)
依图观察,知A,B,C三点共线.
证明如下:
∵AC=OC?OA=(a+3b)-(a+b)=2b,
又AB=OB?OA=(a+2b)-(a+b)=b,
∴AC=2AB,又AB与AC有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
五、变式演练,深化提高
练习1解:设存在实数m,使得a-tb=m[a-13(a+b)],
化简得(23m-1)a=(m3-t)b,
∵a与b不共线,∴23m-1=0,m3-t=0?m=32,t=12.
∴t=12时,a,tb,13(a+b)的终点在一条直线上.
练习2:解:(1)证明:∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b.
而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,
∴AB与BC共线,且有公共端点B,∴A,B,C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a与b是不共线的两个非零向量,
∴8-λk=0,k-2λ=0,消去λ得8-12k2=0,∴k=±4.