数学高中人教A版必修4学案：1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图象

第一章　三角函数
1.5　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
学习目标
1.通过探究理解参数φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)图象的影响;
2.会用两种方法叙述由y=sin x到y=Asin(ωx+φ)+k的图象的变换过程.会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图;
3.温故知新,认真思考,通过课件的演示达到直观感知、探究学习的目的,领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想.
学习过程
一、课前准备(预习课本,找出疑惑之处,标注在学案或书上)
复习1:回顾“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]、余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的方法.
复习2:
y=f(x)→y=f(x+a)
左右平移变换:a>0,向　　　　平移a个单位长度;a<0,向　　　　平移|a|个单位长度?
y=f(x)→y=f(x)+k
上下平移变换:k<0,向　　　　平移|k|个单位长度;k>0,向　　　　平移k个单位长度?
思考:对函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0),你认为怎样讨论参数φ,ω,A对函数图象的影响?
二、新课导学
探究1:探究φ对y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
(函数图象的左右平移变换——平移变换.)
新知:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin x的图象上所有的点　　　　(当φ>0)或　　　　(当φ<0)平移　　　　个单位长度而得到.?
探究2:探究ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象影响
(函数图象横向伸缩变换——周期变换.)
新知:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标　　　　(　　)或　　　　(　　)到原来的　　　　倍(纵坐标不变)而得到.?
探究3:探究A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
(函数图象的纵向伸缩变换——振幅变换.)
新知:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标　　　　(　　)或　　　　(　　)到原来的　　　　倍(横坐标不变)而得到.?
探究4:如何由y=sin x图象通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的图象?
方法1:y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)
反思:由y=sin x图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象需经历三步变换,要考虑变换顺序.
方法2:y=sin xy=sinωx
y=sinωxy=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)
探究5:新知应用
【例1】作出下列函数在一个周期内的简图,并说明其图象是由y=sin x图象如何变换得到的.
(1)y=sin(x-π3);(2)y=sin3x;(3)y=12sin x.
【例2】画出函数y=2sin(13x-π6)的简图,并说明如何由y=sin x图象如何变换得到的.
三、总结提升
1.
2.y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的变换流程图.
四、课堂练习
已知函数y=3sin(x+π5)的图象为C.
(1)为了得到函数y=3sin(x-π5)的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.向右平行移动π5个单位长度 B.向左平行移动π5个单位长度
C.向右平行移动2π5个单位长度 D.向左平行移动2π5个单位长度
(2)为了得到函数y=3sin(2x+π5)的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的12倍,横坐标不变
(3)为了得到函数y=4sin(x+π5)的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的43倍,纵坐标不变
B.横坐标伸长缩短到原来的34倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的43倍,横坐标不变
D.纵坐标伸长缩短到原来的34倍,横坐标不变
五、达标检测
1.把函数f(x)=13sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,而横坐标不变,可得g(x)的图象,则g(x)=(　　)
A.19sin x B.13sinx3 C.13sin3x D.sin x
2.将函数y=2sinx2的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到新的函数图象,那么新函数的解析式为(　　)
A.y=4sinx2 B.y=sinx2 C.y=2sinx4 D.y=sin2x
3.把y=sin x的图象上各点向右平移π3个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍,则所得的图象的解析式是(　　)
A.y=4sin(12x-π3) B.y=4sin(2x-π3)
C.y=4sin(12x+π3) D.y=4sin(2x+π3)
4.下列命题正确的是(　　)
A.y=cos x的图象向左平移π2单位长度得y=sin x的图象
B.y=sin x的图象向右平移π2单位长度得y=cos x的图象
C.当φ<0时,y=sin x向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象
D.y=sin(2x+π3)的图象由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
5.函数y=3sin(2x+π4)图象可看作是函数y=3sin2x图象,经过如下平移得到的,其中正确的是(　　)
A.向右平移π4单位长度 B.向左平移π4单位长度
C.向右平移π8单位长度 D.向左平移π8单位长度
6.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数y=cos(2x-π3)的图象(　　)
A.向左平移5π6单位长度 B.向右平移5π6单位长度
C.向左平移π12单位长度 D.向右平移π12单位长度
7.把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移π6个单位长度,再把横坐标伸长到原来2倍,再把纵坐标缩短到原来的23倍,所得到图象的解析式是y=2sin(12x+π3),则f(x)的解析式为　　　　.?
8.用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-π4)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.
参考答案
一、课前准备
复习1:
x
0
π2
π
3π2
2π
y=sin x
0
1
0
-1
0
y=cos x
1
0
-1
0
1
复习2:
y=f(x)→y=f(x+a)　左右平移变换:a>0,向左平移a个单位长度;a<0,向右平移|a|个单位长度
y=f(x)→y=f(x)+k　上下平移变换:k<0,向下平移|k|个单位长度;k>0,向上平移k个单位长度
二、新课导学
探究1:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.
探究2:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到.
探究3:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0探究4:方法1:y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)
方法2:y=sin xy=sinωx
y=sinωxy=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)
探究5:新知应用
【例1】解:(1)由y=sin x的图象向右平移π3个单位长度,即得到y=sin(x-π3)的图象;
(2)y=sin x的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的13倍,即得到y=sin3x的图象;
(3)y=sin x的图象上点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的12倍,即得到y=12sin x的图象;
【例2】解:简图如下:
y=sin x图象上的各点得y=sin(x-π6)的图象得y=sin(13x-π6)的图象得y=2sin(13x-π6)的图象.
三、
2.
四、课堂练习
(1)C　(2)B　(3)C
五、达标检测
1.D　2.C　3.B　4.B　5.C　6.D
7.y=3sin(x+π2)
8.解:
x
π8
3π8
5π8
7π8
9π8
2x-π4
0
π2
π
3π2
2π
y
0
2
0
-2
0
用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-π4)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.
y=sin x图象上各点得到y=sin(x-π4)的图象得y=sin(2x-π4)的图象得y=2sin(2x-π4)的图象.