数学高中人教A版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

第一章　三角函数
1.4　三角函数的图象与性质
1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
学习目标
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.能熟练运用“五点法”作图.
学习过程
一、课前准备
(预习课本P30~P33,找出疑惑之处)
遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么,一般采用什么方法画图象?
二、新课导学
问题1:在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线.
问题2:在相应坐标系内,在x轴上标出12个角(实数表示),把单位圆中12个角的正弦线进行右移.
问题3:通过刚才描点(x0,sin x0),把一系列点用光滑曲线连结起来,你能得到什么?
问题4:观察所得函数的图象,有五个点在确定形状中起着关键作用,哪五个点?
问题5:如何作y=sin x,x∈R的图象?
问题6:用以前学过的诱导公式cos x=　　　　(用正弦式表示),那么y=cos x的图象怎样作??
三、典型例题
【例题】作下列函数的简图.
(1)y=1+sin x,x∈[0,2π];(2)y=-cos x.
探究1:如何利用y=sin x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到:
(1)y=1+sin x,x∈(0,2π)的图象?
(2)y=sin(x-
π
3
)的图象?
探究2:如何利用y=cos x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cos x,x∈(0,2π)的图象?
探究3:如何利用y=cos x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cos x,x∈(0,2π)的图象?
探究4:不用作图,你能判断函数y=sin(x-
3π
2
)和y=cos x的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想.
四、课堂练习
1.函数y=sin
??
??
(a≠0)的定义域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.R B.[-1,1] C.[-
1
3
,
1
3
] D.[-3,3]
2.在[0,2π]上,满足sin x≥
1
2
的x的取值范围是(　　)
A.[0,
π
6
] B.[
π
6
,
5π
6
] C.[
π
6
,
2π
3
] D.[
5π
6
,π]
3.用“五点法”作y=2sin x+1,x∈[0,2π]的图象.
4.结合图象,判断方程sin x=x的实数解的个数.
五、小结反思
六、达标检测
1.用“五点法”作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是(　　)
A.0,
π
2
,π,
3π
2
,2π B.0,
π
4
,
π
2
,
3π
4
,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,
π
6
,
π
3
,
π
2
,
2π
3
2.在[0,2π]内,不等式sin x<-
3
2
的解集是(　　)
A.(0,π) B.(
π
3
,
4π
3
) C.(
4π
3
,
5π
3
) D.(
5π
3
,2π)
3.方程sin x=
??
10
的根的个数是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
4.用“五点法”画出y=2sin x在[0,2π]内的图象时,应取的五个点为　　　　　　　　.?
5.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-
1
2
的交点有　　　　个.?
6.若sin x=2m+1且x∈R,则m的取值范围是　　　　.?
参考答案/
一、课前准备
一般采用列表、描点、连线的方式作图.
二、新课导学
问题1:在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.
问题2:在单位圆中画出对应于角0,
π
6
,
π
3
,
π
2
,…,2π的正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
问题3:用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象.
/
问题4:五个关键点是:(0,0),(
π
2
,1),(π,0),(
3π
2
,-1),(2π,0).
问题5:根据终边相同的同名三角函数值相等,所以函数y=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π,k∈Z且k≠0)的图象与函数y=sin x,x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将y=sin x,x∈[0,2π)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sin x,x∈R的图象.
用几何画板软件演示:
/
把角x(x∈R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sin x的图象.
问题6:根据诱导公式cos x=sin(x+
π
2
),可以把正弦函数y=sin x的图象向左平移
π
2
单位长度即得余弦函数y=cos x的图象.
/
三、典型例题
【例题】解:(1)列表得
x
0
??
2
π
3??
2
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y
1
2
1
0
1
简图为
/
(2)列表得
x
0
??
2
π
3??
2
2π
cos x
1
0
-1
0
1
y
-1
0
1
0
-1
简图为
/
探究1:解:(1)将图象y=sin x上的点向上平移1个单位长度,即可得到y=1+sin x的图象;
(2)将图象y=sin x上的点向右平移
π
3
个单位长度,即可得到y=sin(x-
π
3
)的图象.
探究2:解:作y=cos x,x∈(0,2π)的图象关于x轴的对称图形即可得到y=-cos x,x∈(0,2π)的图象.
探究3:解:先作y=cos x,x∈(0,2π)的图象关于x轴对称的图象即可得到y=-cos x,x∈(0,2π)的图象,再将得到的图象向上平移2个单位长度,即可得到y=2-cos x,x∈(0,2π)的图象.
探究4:解:y=sin(x-
3π
2
)=cos x,这两个函数相等,图象重合.
四、课堂练习
1.A　2.B
3.解:列表得
x
0
??
2
π
3??
2
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y
1
3
1
-1
1
简图为
/
4.解:在同一坐标系中作出y=x和y=sin x的图象,如图
/
由图象知y=x和y=sin x的图象只有一个交点,即方程x=sin x只有一个根.
五、小结反思
在区间[0,2π]上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点(平衡点).函数的图象可通过描点、平移、伸缩、对称等手段得到.
六、达标检测
1.B　2.C　3.A
4.(0,0),(
π
2
,2),(π,0),(
3
2
π,-2),(2π,0)
5.2
6.[-1,0]