数学高中人教A版必修4学案：1.1.2弧度制

第一章　三角函数
1.1　任意角和弧度制
1.1.2　弧度制
学习目标
了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算.
学习过程
一、自主学习
问题1:你能写出终边分别在x轴、y轴上的角的集合吗?
问题2:在同一坐标系中分别作出30°,-45°,390°的角,并指出它们是第几象限角?
问题3:写出与60°角终边相同的角,并指出落在0°~720°间的角.
问题4:1°的角是怎样定义的?半径为r,圆心角为n°的扇形的弧长是多少?
二、自主研讨
问题5:已知30°,60°的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比,并总结规律.
探究一:弧度制
定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad,这种度量角的单位制称为　　　　.?
新知:①正角的弧度数是　　　　数,负角的弧度数是　　　　数,零角的弧度数是　　　　.?
②角α的弧度数的绝对值|α|=lr(l为弧长,r为半径).
探究二:弧度制与角度值的转化
问题6:若弧长是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?
问题7:若弧长是14个圆,则其圆心角的弧度数是多少?
问题8:你能得到同一个角的角度和弧度的关系吗?
问题9:你能得到角α的弧度数的绝对值、弧长l、半径r之间的关系吗?你能得到扇形的面积公式吗?
试一试:完成特殊角的度数与弧度数的对应表:
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
345°
360°
弧度
三、典例精析,应用新知
1.按要求解答下列各题:
(1)把67°30'化成弧度;(2)把35πrad化成角度.
2.利用弧度制证明扇形面积公式:
(1)S=12lr;(2)S=12αr2.
3.(1)已知扇形半径为10cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积;
(2)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求扇形的面积.
四、课堂练习
1.把22°30'化成弧度表示是(　　)
A.π4 B.π8 C.π16 D.π32
2.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6,则其圆心角为　　　　rad.?
3.5π4化为度表示是　　　　.?
4.将下列各式进行度与弧度的转化
(1)π12=　　　　°;(2)-7π8=　　　　°　　　　';(3)-105°=　　　　rad.?
五、小结反思
六、达标检测(A组必做,B组选做)
A组
1.时钟经过一小时,时针转过了(　　)
A.π6rad B.-π6rad C.π12rad D.-π12rad
2.若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.半径为πcm,中心角为120°的弧长为(　　)
A.π3cm B.π23cm C.2π3cm D.2π23cm
4.若扇形的圆心角α=2,弧长l=3π,则该扇形的面积S等于(　　)
A.9π2 B.9π24 C.6π D.6
5.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则(　　)
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
B组
1.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=k·π±π2,k∈Z},则(　　)
A.集合M是集合N的真子集 B.集合N是集合M的真子集
C.M=N D.集合M与集合N之间没有包含关系
2.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(　　)
A.{α|120°<α<330°}
B.{α|k·360°-30°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
C.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+330°,k∈Z}
D.{α|k·180°+120°≤α≤k·180°+330°,k∈Z}
3.已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.
4.如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界).
参考答案
一、自主学习
问题1:终边在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α|α=90°+k·180°,k∈Z}.
问题2:30°是第一象限角,-45°是第四象限角,390°是第一象限角.
问题3:与60°角终边相同的角为α=60°+k·360°,k∈Z,落在0°~720°间的角为60°,420°.
问题4:1°的定义为圆周角的1360,弧长公式为nπr180.
二、自主研讨
问题5:30°的圆心角,半径为1时,弧长为π6;半径为2时,弧长为π3;半径为3时,弧长为π2;半径为4时,弧长为2π3.60°的圆心角,半径为1时,弧长为π3;半径为2时,弧长为2π3;半径为3时,弧长为π;半径为4时,弧长为4π3.结论:圆心角不变,则弧长与半径的比值不变.
探究一:弧度制
弧度制,正,负,零
探究二:弧度制与角度值的转化
若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数为πrr=πrad;若弧长是14个圆,则其圆心角的弧度数为2πr4r=π2rad;角度数和弧度数的关系180°=πrad,即1°=π180rad,1rad=(180π)°.
由弧度的定义知|α|=lr,即l=|α|r.
半径为r,圆心角的弧度数为α的扇形的面积S=12αr2=12lr.
试一试:完成特殊角的度数与弧度数的对应表:
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
345°
360°
弧度
7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
23π12
2π
三、典例精析,应用新知
1.解:(1)∵67°30'=(6712)°,
∴67°30'=π180rad×6712=38πrad.
(2)35πrad=35×180°=108°.
2.证明:∵S=n360πr2,l=n180πr,α=n180π,
∴S=12lr,S=12αr2.
3.解:(1)∵扇形的圆心角为60°=π3,
∴弧长l=αr=π3×10=10π3(cm),
S=12αr2=12×π3×102=50π3(cm2).
(2)∵2r+l=8cm,lr=2,所以r=2cm,l=4,所以S=12rl=12×2×4=4(cm2).
四、课堂练习
1.B
2.3
3.225°
4.(1)15°　(2)-157°30'　(3)-712π
五、小结反思
1.角度制与弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;
(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1°是圆的1360所对的圆心角的大小;
(3)不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
2.弧度制是十进制,它用一个实数表示,而角度制是六十进制.
六、达标检测
A组
1.B　2.C　3.D　4.B　5.B
B组
1.B　2.C　3.2cm2
4.(1){α|4π3+2kπ<α<13π6+2kπ,k∈Z};
(2){α|π4+kπ<α<π2+kπ,k∈Z};
(3){α|2kπ<α<π3+2kπ,k∈Z}∪{α|2π3+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.