高中数学选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案

《定量研究函数与图象关系》
片断教案
---人教A版《选修2-2》1．3节《导数在研究函数中的应用》

一、教学内容与目标
1、由图象直观感知函数与图象关系；
2、通过导数工具定量研究函数与图象关系；
3、体会由特殊到一般的研究问题的过程．
二、教学重点与难点
1、教学重点：理解并掌握由特殊函数的研究到对一般函数的研究过程．
2、教学难点：体会由定性描述到定量研究函数与图象关系的过程．
三、教学方法与手段
1、教法：问题引导法
2、学法：问题探究法
3、教学手段：几何画板
四、教案主体
教学步骤
预计用时
教学内容
教师活动
学生活动
问
题
引
入
3min
人教A版《必修一》 ：
3.2.1几种不同增长的函数模型
对数函数和幂函数
，总会存在一个，当时，
就有.
【预设答案】只能通过图象进行“直观感知”，但会给我们带来困惑：（1）我们看到的这部分图象是否可靠？（2）看不到的部分图象是否真的如我们想象中的样子？所以引入“定量分析”是必要的，也是用数学研究问题的方式.
学生通过图象直观感知函数
和幂函数
的图象关系.
问
题
探
究
10min
问题1：证明：存在，当时，有.
【预设答案】
记，
，
令，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，，
故对任意，有.
问题2：是否存在，使得当 ,？
【预设答案】
令. 所以.
原问题转化为：证明：存在，当时，有.
记，
，
令，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，，故对任意，有.
问题3：证明：当，存在，当时，有.
【预设答案】
令，，
即证明：当时，存在，当时，，
做法一：
记，，令,
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，，
（需要进行分类讨论，能否在在研究问题过程中借助之前的研究“成果“来简化问题）
方法二：
由问题2可知： .
即只要证明：存在，当时，，
因为当时，，也即有.
所以，存在，当时，.
问题4：证明：当，存在，当时，就有.
【预设答案】
换底公式：，
原问题转化为证明：
证明：当，存在，当时，就有.
令，，则，
原问题转化为证明：
证明：当，存在，当时，就有.（在问题3中已得到解决）
教师通过最特殊的幂函数和对数函数入手进行研究.
教师通过设置对不同的幂函数与自然对数函数图象关系的研究，再次强化学生利用导数对函数图象关系进行定量研究．
教师通过到一般的幂函数与自然对数函数图象关系的研究，在处理问题的过程中，合理的利用已得结论解决问题的意识．
通过前面对特殊问题的解决，最后得到对一般性的问题的解决：幂函数与自然对数函数图象关系的研究，要体会利用已得结论解决问题的意识．
学生通过教师设置的问题，进行思考，并回答问题．
学生通过动手计算，利用导数工具进行证明
学生完成后续的解题过程.
学生完成后续的解题过程.
问
题
小
结
2min
教师结合解题过程给出研究数学问题的一般性过程.
学生进行体会、感悟．