高二数学人教A版选修4-5教案：2.2综合法和分析法

2.2综合法和分析法
一、教学目标
1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．
2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．
四、教学难点
会用综合法、分析法证明简单的不等式．
五、教学过程
（一）导入新课
已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－＜a.
【证明】　要证c－＜a，
只需证明c＜a＋，
即证b－a＜2，
当b－a＜0时，显然成立；
当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，
即证(a＋b)2＜4c2，
由2c＞a＋b知上式成立．
所以原不等式成立．
（二）讲授新课
教材整理1　综合法
一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 ，又叫或 ．
教材整理2　分析法
证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做 ，这是一种执果索因的思考和证明方法．
（三）重难点精讲
题型一、用综合法证明不等式
例1已知a，b，c是正数，求证：
≥abc.
【精彩点拨】　由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．
【自主解答】　法一　∵a，b，c是正数，
∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，
∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，
即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．
又a＋b＋c＞0，
∴≥abc.
法二　∵a，b，c是正数，
∴＋≥2＝2c.
同理＋≥2a，＋≥2b，
∴2≥2(a＋b＋c)．
又a＞0, b＞0，c＞0，
∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．
故≥abc.
规律总结：
1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．[来源:学。科。网]
2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术-几何平均不等式等．
[再练一题]
1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.
求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.
【证明】　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴1＋a≥2，当且仅当a＝1时，取等号，
1＋b≥2，当且仅当b＝1时，取等号，
1＋c≥2，当且仅当c＝1时，取等号．
∵abc＝2，
∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8.
即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.
题型二、综合法与分析法的综合应用
例2设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜＋loga2.
【精彩点拨】　要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．
【自主解答】　由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数．
欲证loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需证ax＋ay＞2a.
∵y＋x2＝0,0＜a＜1，
∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.
当且仅当x＝时，(x＋y)max＝，
∴ax＋y≥a，≥a.①
又ax＋ay≥2(当且仅当x＝y取等号), ②
∴ax＋ay≥2a.③
由于①，②等号不能同时成立，
∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a成立．
故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立．
规律总结：
1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．
2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．
[再练一题]
2．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3－.
【证明】　法一　要证2≤3－，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，
即－2≤c－3，
移项，得c＋2≥3.
由a，b，c都为正数，得c＋2＝c＋＋≥3，∴原不等式成立．
法二　∵a，b，c都是正数，
∴c＋＋≥3＝3，
即c＋2≥3，
故－2≤c－3，
∴a＋b－2≤a＋b＋c－3，
∴2≤3.
题型三、分析法证明不等式
例3已知a＞b＞0，求证：＜－＜.
【精彩点拨】　本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．
【自主解答】　要证原不等式成立，
只需证＜a＋b－2＜，
即证＜(－)2＜.
只需证＜－＜，
即＜1＜，
即＜1＜.
只需证＜1＜.[来源:Z。xx。k.Com]
∵a＞b＞0，∴＜1＜成立．
∴原不等式成立．
规律总结：
1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．
2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．
[再练一题]
3．已知a＞0，求证： －≥a＋－2.
【证明】　因为a＞0，要证原不等式成立，只需证
＋2≥a＋＋，[来源:学科网]
即证a2＋＋4＋4
≥＋2＋2，
只需证·≥a＋，
即证2≥a2＋＋2，
只需证a2＋≥2.
由基本不等式知a2＋≥2显然成立，
所以原不等式成立．
（四）归纳小结
综合法与分析法—
（五）随堂检测
1．已知a＜0，－1＜b＜0，则(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
【解析】　∵－1＜b＜0，[来源:学§科§网]
∴1＞b2＞0＞b.
又a＜0，∴ab＞ab2＞a.
【答案】　D
2．下列三个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a.其中能使＜成立的充分条件有(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D.①②③
【解析】　①a＜0＜b?＜；②b＜a＜0?＜；③b＜0＜a?＞.故选A.
【答案】　A
3．已知a，b∈(0，＋∞)，Ρ＝，Q＝，则P，Q的大小关系是________.
【解析】　∵a＋b≥，
∴≥.
【答案】　P≤Q
六、板书设计
2.2综合法和分析法
教材整理1　综合法
教材整理2　分析法
例1：
例2：
例3：
学生板演练习
七、作业布置
同步练习：2.2综合法和分析法
八、教学反思