数学高中人教版A必修5学案：第三章 不等式 复习

第三章　不等式
本章复习
学习目标
1.理解生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组)的实际背景,理解不等式一些基本性质.
2.深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,能运用二次函数的图象、性质解答不等式的有关问题.渗透函数与方程思想、数形结合思想及分类讨论思想.
3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组;并能用平面区域表示;能熟练解答线性规划问题,并理解其中蕴含的数形结合思想.
4.能够灵活熟练地利用基本不等式解决相关的最值问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
题组一:再现型题组
求解下列各题,并思考每道题目考查的知识点.
1.已知a>b,有下列结论:①ac>bc;②a2>b2;③1a<1b;④a3>b3.
其中正确结论的序号为　　　　. ?
2.不等式x2-2x-15≤0的解集是　　　　.?
3.二元一次不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的　　　　方.?
4.若变量x,y满足约束条件y≤2x,x+y≤1,y≥-1,则x+2y的最大值是　　　　. ?
5.已知x>0,y>0,且x+y=2,则x2+y2的最小值为　　　　. ?
二、运用规律,解决问题
【例1】已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集是[1,3],求实数a的值.
(2)是否存在实数a,使得不等式f(x)≤0有实数解?若存在,求出所有的实数a;若不存在,请说明理由.
(3)解关于x的不等式f(x)≤0.
师生交流1:本题中所体现的思想方法可以推广到一般情形吗?请你尝试总结一下.
【例2】已知实数x,y满足2x+y≥6,x+3y≥9,x+y≤6.
(1)求y-1x+1的最大值和最小值;
(2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最小值为3,求实数a的值.
师生交流2:本题的解答注重什么思想?体现在哪里?
【例3】已知正实数x,y满足x+2y=1.
(1)求xy的最大值;
(2)求1x+1y的最小值.
师生交流3:第(1)问还有其他解法吗?对于“二元函数的最值问题”你认为有哪些常用解法?既然有这些方法,在解答具体问题时,应如何选择呢?
三、变式训练,深化提高
变式训练1:若对任意的实数x∈[1,3]时,不等式f(x)=x2-(a+1)x+a≤0恒成立,求实数a的取值范围.
变式训练2:若将例2改为:已知实数x,y满足2x+y≤6,x+3y≥9,kx+y≤6.若z=x+y的最小值为5,求实数k的值.
变式训练3:将例3中的“x+2y=1”改为“x+y=xy”,求xy的最小值.
四、反思小结,观点提炼
1.本节课我们重点复习了哪些知识?
2.在这些问题的求解过程中,体现了哪些数学思想?
参考答案
一、设计问题,创设情境
题组:再现型题组
1.④　2.[-3,5]　3.右下　4.53　5.2
二、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)由题意,有f(1)=0,f(3)=0,解得a=3.
(2)因为Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,所以当a=1时,不等式f(x)≤0有解为{x|x=1};
(3)当a>1时,{x|1≤x≤a};当a=1时,{x|x=1};当a<1时,{x|a≤x≤1}.
师生交流1:
规律一:不等式f(x)≤0、方程f(x)=0都可以看做是y=f(x)的特殊情形.
因此,不等式问题的求解策略,一般有两个:一是直接求不等式的解集;二是构造相应的函数,将不等式问题转化为函数的值域、最值问题或利用函数的图象求解.
如本题中不等式的能成立、恒成立问题,可以通过求不等式的解集完成;可以转化为相应函数的最值问题求解;也可以根据图象求解.
【例2】解:作出可行域,如图所示(阴影部分).
(1)因为y-1x+1表示可行域内的点(x,y)与点P(-1,1)连线的斜率,结合图形可以知道,该斜率介于直线PC和直线PA之间.
解方程组x+y=6,x+3y=9,
得点C的坐标为x=92,y=32.
又A(0,6),所以32-192+1≤y-1x+1≤6-10+1,即111≤y-1x+1≤5.
所以y-1x+1最大值为5,最小值为111.
(2)z=ax+y可化为y=-ax+z,它表示斜率为-a的一族直线,因为a<0,
所以-a>0,故直线经过点C时,z最小为3.
将x=92,y=32代入3=ax+y,解得a=13.
师生交流2:数形结合思想;例如y-1x+1几何意义,甚至更细致一些是哪两个点之间的连线斜率都要观察出来;再如目标函数对应的直线的斜率与边界直线斜率之间的比较;再如直线过定点问题等等.
规律二:运用数形结合思想解答问题时,首先要观察数学式子中的各个系数对图象的制约,与图象对应起来;然后,在图形中观察出的规律、结论也要对应到数学式子中的相应系数上来.
【例3】解:(1)xy=12x·(2y)≤12x+2y22=18.
当且仅当x=2y,x+2y=1,即x=12,y=14时,xy的最大值为18.
(2)方法一:因为x+2y=1,
所以1x+1y=1x+1y(x+2y)=3+2yx+xy≥3+22.
当且仅当2yx=xy,x+2y=1,即x=2-1,y=2-22时,1x+1y最小值为3+22.
方法二:因为x+2y=1,所以x=1-2y,
又x>0,y>0,
所以0所以1x+1y=11-2y+1y=1-yy(1-2y),(*)
令t=1-y,则12(*)式可化为t(1-t)(2t-1)=t-2t2+3t-1=1-2t+1t+3≥13-22.
当且仅当2t=1t,即t=22,x=2-1,y=2-22时,1x+1y最小值为3+22.
师生交流3:有,可以消元,转化为一元函数求最值.
规律三:“二元函数的最值问题”的求解方法,一般有三种:
(1)通过消元转化为“一元”函数求解,体现了化归转化的数学思想;
(2)寻求条件、结论的几何意义,数形结合求解,体现了数形结合思想;
(3)构造基本不等式所必须的条件,运用基本不等式求解,体现了化归转化思想.
要观察条件、结论的特征,根据这些特征合理选择方法.
三、变式训练,深化提高
变式训练1:解:结合二次函数图象可知,只需f(1)≤0,f(3)≤0,即0≥0,6-2a≥0,解得a≥3.
所以实数a的取值范围是[3,+∞).
变式训练2:解:由2x+y≤6,x+3y≥9,kx+y≤6.可确定如图所示的平面区域,又因为z=x+y的最小值为5,即直线x+y=5与平面区域相交在最靠下的位置.
由x+3y=9,x+y=5解得B(3,2),
又因为直线kx+y=6过点B(3,2),所以3k+2=6,
解得k=43.
变式训练3:解:x+y=xy≥2xy,即xy≥2xy,又x,y为正实数,所以xy≥2,
xy≥4.
当且仅当x=y,x+y=xy,即x=y=2时,等号成立.
四、反思小结,观点提炼
1. 三个二次之间的关系在解决一元二次不等式问题中的应用;线性规划问题的求解策略;灵活运用基本不等式求最大(小)值.
2.函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化的数学思想.