人教A版 选择性必修 第一册 第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线及其标准方程：32张PPT

(共32张PPT)
抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
喷泉
我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
思考：
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
动一动手
互动探究
探究1、我们得到的抛物线上的点M具有怎样特征？
到直线l 的距离与到点F的距离相等
M
F
l
准线
焦点
d
探究2、根据点M总结抛物线的定义。
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
互动探究
思考：若定点F在定直线l上，那么动点的轨迹是什么图形？
过点F且垂直于l的一条直线
方程推导
如何建立直角坐标系？
想一想
K
设|FK|=p（p>0）
抛物线的标准方程：
－－抛物线标准方程
焦点到准线的距离(焦准距)
抛物线的标准方程还有哪些不同形式?
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？
探
究
如何确定抛物线焦点位置及开口方向?
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程








当0＜e ＜1时，是椭圆，
当e＞1时，是双曲线。
当e=1时，它是什么曲线呢？
椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.
抛物线
例1.（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2）， 求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为
x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
例题讲解：
方法点拨
求抛物线焦点坐标和准线方程的方法：
1.把方程化为标准形式；
2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方
程中一次项是x(y),则对称轴为x（y）轴，焦
点在x(y)轴；
3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中
一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐
标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向；
4.定数值：焦点中的非零坐标是一次项系数
的 ,准线方程中的数值是一次项系数的
1、求下列的焦点坐标和准线方程：
变式：
（2）将方程化成标准方程
所以焦点坐标 ，准线方程为
变式：
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、
x2 =4y 或 x2 = -4y
例2.求满足下列条件的抛物线方程：

(1)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
解：如图所示，设抛物线的方程为
将点（-4，-2）代入方程得：4=8p,得 2p=1
所以
设抛物线的方程为 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 p=4
所以


（2）焦点在直线x-2y-4 =0上
解：若焦点在x轴上，则焦点为（4,0），
那么 即 ，此时

抛物线的标准方程是
若焦点在y轴上，则焦点为（0,-2），
那么 即 ， 此时

抛物线的标准方程是
例2.求满足下列条件的抛物线方程：

变式：求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
例3. 点M与点F(4，0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程?
解：如图所示,设点M的坐标为(x,y).由已知条件得,点M与点F　　　　　　　　　　　　　　　　的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,
点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.
因为 =4,

所以 P=８.
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为
y2=16x
．
B
例4：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标
P
A(3,2)
课堂练习：
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）

（2）

（3）

（4）
课堂练习：
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（－2，0） ;

（2）准线方程是 ;

（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上.
课堂练习：
3、抛物线 上的点P到焦点的距
离是10，求P点坐标 .
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1） 根据抛物线定义可知点P到焦点的距离与到准线的距离相等， ∴yp+1=10，求得yp=9，
代入抛物线方程求得x=±6 ∴P点坐标是（±6，9） 故答案为：（±6，9）
归纳总结
小 结 ：
1、关于抛物线的定义，要注意点F不在直线L上，否则
轨迹是一条直线。
2、 抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别在于： (1)焦参数p的几何意义都是焦点到准线的距离；
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴）名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向。
（3）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4。
3、注重数形结合和分类讨论的思想。
做题时注重以形助数！
抛物线的标准方程：
标准方程
图 形
焦 点
准 线
抛物线 两端长 漫漫长路向远方
似彩虹 如桥梁 世间英雄竞畅想
嫦娥飞 人气涨 主宰神灵非天王
看今朝 我辈忙 书山崎岖心飘香
再见