人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数28.2.2应用举例课件3课时（86张PPT)
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| 名称 | 人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数28.2.2应用举例课件3课时（86张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 13.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-09 07:22:48 | ||
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课件86张PPT。28.2 解直角三角形及其应用第一课时第二课时第三课时人教版 数学 九年级 下册28.2.2 应用举例解直角三角形的简单应用第一课时返回 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．1. 巩固解直角三角形相关知识 .素养目标2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 利用解直角三角形解答简单的问题 小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30° ，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?ABABD30°300m解：BD=ABsin30°=150mDABC 小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60°200m小明需要115.5s才
能到达目的地.解：231÷2=115.5（s）30° 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结果取整数）？最远点建立直角三角形模型解答简单的问题解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形． 当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.∴ 的长为【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．小结
归纳总结解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案。注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ABC解：如图所示，依题意可知∠B= 60° 答：梯子的长至少4.62米. 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°建立直角三角形模型解答生活问题0.5m3mABCDE60°分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴ CD=AD－AC=1.5m，∴ CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.2. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为∴∴(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?AB20m?m南答案：BC至少为 （2018?台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）巩固练习图1图2巩固练习解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵ ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．图2EF1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两
树距离的有( )
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 D2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米B3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的
着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.ACB4米45° “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，
=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的. 在Rt△OCB中，∠O 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） G解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，∴ (米).利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.利用俯角和仰角解直角三角形第二课时返回 青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40 m,若灰太狼以 5 m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动) 1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题.
2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.素养目标3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力. 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.俯角、仰角问题 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°. 在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．仰角水平线俯角一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277m.（m） 方法点拨解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，
tan 37°≈0.75）
AB37°45°400米P两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题ABO37°45°400米P设PO=x米，在Rt△POB中，∠PBO=45°，在Rt△POA中，∠PAB=37°，OB=PO= x米.解得x=1200.解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.即故飞机的高度为1200米.2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择
一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m.E(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则 (m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.∴ (m).E（2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα米 B. 800tanα米
C． 米 D． 米巩固练习D1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘
小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.1003. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，
测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则
树高 (精确到0.1米）. 20.9 米4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m. ∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，∴x·tan60°-x·tan30°=50，∵∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，设AB′=x m.∴∴ 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中 ，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m).∴AC=DC·tan∠ADC=tan54°×40≈1.38×40=55.2（m)解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中， .(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）∴ BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°
≈116（米）.利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角问题利用方向角、坡度解直角三角形第三课时返回 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).图②图①1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.素养目标3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。北偏东30°南偏西45°方向角的有关问题也叫西南方向注意（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”,的形式.（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有关方向角的实际问题——距离解：如图 ，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
归纳总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?解:根据题意,得AC=20×10=200(m).
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADC中, ,
DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100.
在Rt△ADB中, . ∴ . 例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAC60°有关方向角的实际问题——预测路线30°解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF
=60°－30°
=30°.EF又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．∴ (海里)，2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)?北东解：过点P作PC⊥AB于点C．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 ，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会
穿越保护区．C 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？坡度、坡角有关的问题【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示。坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
的形式。坡度越大
坡角越大
坡面越陡 α水平面坡面（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度.
（2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
301 : 13.完成下列各题 例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中
AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造
后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后
的坡长AE．(结果保留根号) 利用坡度、坡角解答大坝问题解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长AE 为 m.F4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度AF.
(结果保留根号)GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又∵AG=DG=10米，故加固后坝底增加的宽度AF为 米.∴ (米). 例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2利用坡度、坡角解答山坡问题在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，因此 α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此BACi=1:25. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．30°答案：点B和点C的水平距离为 米.E1.（2018?徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，
巩固练习巩固练习解：在Rt△CDE中，∵ ，
∴ ， ∴EF=AD=6m，AF=DE=7m∵四边形AFED是矩形，答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴BF=AF=7m，∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m），2.（2018?重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，
B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米 A1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ． 90°2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟B3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘
船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C
岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，
参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，
tan43°=0.93)
33.5海里 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
i=1:3解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.解：分别过点B、C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). EFi=1:3在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，EF解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，
由题意可知DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ). ?
45°30°4米12米ABCD 在Rt△ADE中，EF
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.9米．(米).(米).解直角三角形的应用坡度问题方向角问题坡角坡度(或坡比) 课后作业作业
内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
能到达目的地.解：231÷2=115.5（s）30° 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结果取整数）？最远点建立直角三角形模型解答简单的问题解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形． 当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.∴ 的长为【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．小结
归纳总结解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案。注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ABC解：如图所示，依题意可知∠B= 60° 答：梯子的长至少4.62米. 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°建立直角三角形模型解答生活问题0.5m3mABCDE60°分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴ CD=AD－AC=1.5m，∴ CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.2. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为∴∴(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?AB20m?m南答案：BC至少为 （2018?台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）巩固练习图1图2巩固练习解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵ ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．图2EF1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两
树距离的有( )
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 D2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米B3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的
着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.ACB4米45° “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，
=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的. 在Rt△OCB中，∠O 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） G解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，∴ (米).利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.利用俯角和仰角解直角三角形第二课时返回 青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40 m,若灰太狼以 5 m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动) 1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题.
2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.素养目标3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力. 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.俯角、仰角问题 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°. 在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．仰角水平线俯角一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277m.（m） 方法点拨解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，
tan 37°≈0.75）
AB37°45°400米P两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题ABO37°45°400米P设PO=x米，在Rt△POB中，∠PBO=45°，在Rt△POA中，∠PAB=37°，OB=PO= x米.解得x=1200.解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.即故飞机的高度为1200米.2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择
一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m.E(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则 (m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.∴ (m).E（2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα米 B. 800tanα米
C． 米 D． 米巩固练习D1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘
小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.1003. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，
测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则
树高 (精确到0.1米）. 20.9 米4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m. ∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，∴x·tan60°-x·tan30°=50，∵∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，设AB′=x m.∴∴ 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中 ，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m).∴AC=DC·tan∠ADC=tan54°×40≈1.38×40=55.2（m)解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中， .(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）∴ BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°
≈116（米）.利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角问题利用方向角、坡度解直角三角形第三课时返回 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).图②图①1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.素养目标3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。北偏东30°南偏西45°方向角的有关问题也叫西南方向注意（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”,的形式.（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有关方向角的实际问题——距离解：如图 ，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
归纳总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?解:根据题意,得AC=20×10=200(m).
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADC中, ,
DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100.
在Rt△ADB中, . ∴ . 例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAC60°有关方向角的实际问题——预测路线30°解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF
=60°－30°
=30°.EF又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．∴ (海里)，2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)?北东解：过点P作PC⊥AB于点C．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 ，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会
穿越保护区．C 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？坡度、坡角有关的问题【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示。坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
的形式。坡度越大
坡角越大
坡面越陡 α水平面坡面（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度.
（2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
301 : 13.完成下列各题 例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中
AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造
后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后
的坡长AE．(结果保留根号) 利用坡度、坡角解答大坝问题解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长AE 为 m.F4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度AF.
(结果保留根号)GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又∵AG=DG=10米，故加固后坝底增加的宽度AF为 米.∴ (米). 例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2利用坡度、坡角解答山坡问题在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，因此 α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此BACi=1:25. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．30°答案：点B和点C的水平距离为 米.E1.（2018?徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，
巩固练习巩固练习解：在Rt△CDE中，∵ ，
∴ ， ∴EF=AD=6m，AF=DE=7m∵四边形AFED是矩形，答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴BF=AF=7m，∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m），2.（2018?重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，
B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米 A1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ． 90°2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟B3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘
船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C
岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，
参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，
tan43°=0.93)
33.5海里 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
i=1:3解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.解：分别过点B、C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). EFi=1:3在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，EF解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，
由题意可知DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ). ?
45°30°4米12米ABCD 在Rt△ADE中，EF
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.9米．(米).(米).解直角三角形的应用坡度问题方向角问题坡角坡度(或坡比) 课后作业作业
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