1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养运算素养.
函数的表示法
思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？
[提示] 不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2
f(x)
1
2
3
A．1 B．2
C．3 D．不存在
C [∵当22．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．
[－2，3] [由图象可知f(x)的定义域为[－2，3]．]
函数的三种表示方法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．
1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
A B C D
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B．2
C．4 D．5
(1)D (2)B [(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]
图象的画法及应用
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1，8)．
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.
函数解析式的求法
[探究问题]
已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．
提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．
【例3】 (1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
思路点拨：(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．
(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋或－2x－8 (3)x－1 [(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]
1．(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.
又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，
∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.
由2ax＋a＋b＝2x，得
解得a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2f＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．
[解] f(x)＋2f＝x，令x＝，得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．
2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.
1．思考辨析
(1)任何一个函数都可以用解析法表示． ( )
(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示． ( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________．
4 3 [由题表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.
又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]
4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
[解] (1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，
即f(x)的值域是[－1，3]．
课件40张PPT。第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
数学表达式图象表格函数的三种表示方法 图象的画法及应用 函数解析式的求法 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 分段函数与映射
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)
3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．
2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2．映射
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0，1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
A B C D
C [选项C中不但b元素没有对应的元素，而且元素a所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]
2．下列给出的式子是分段函数的是( )
①f(x)＝②f(x)＝
③f(x)＝④f(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
3．函数f(x)＝则f(f(4))＝________．
0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，
∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
分段函数的求值问题
【例1】 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f＝f＝＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2，2)，－3(－2，2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
1.函数f(x)＝则f(7)＝________．
8 [∵函数f(x)＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]
分段函数的解析式
【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
思路点拨：可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
分段函数的图象及应用
[探究问题]
1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？
提示：能．f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？
提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
【例3】 已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
思路点拨：(1)分－2(2)利用(1)的结论可画出图象；
(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y＝a与函数y＝f(x)图象的交点个数．
[解] ①当a≥3或a<1时，y＝a与y＝f(x)的图象无交点；
②当1③当a＝1时，y＝a与y＝f(x)的图象有无数个交点．
2．把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．
[解] (1)f(x)＝|x|－2＝
(2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
映射的概念
【例4】 下列对应是A到B的映射的有( )
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f：每个运动员对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [①中，对于A中的元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中的任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]
判断一个对应是不是映射的2个关键
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．
(2)B中的对应元素是不是唯一的．
提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．
3．已知A＝{1，2，3，…，9)，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
[解] (1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A：看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B中的元素不作任何要求.
1．思考辨析
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集． ( )
(2)分段函数由几个函数构成． ( )
(3)函数f(x)＝是分段函数． ( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A． B．3
C． D．
D [∵f(3)＝≤1，
∴f(f(3))＝＋1＝.]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝ [当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上f(x)＝]
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
[解] (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1]．
课件46张PPT。第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射唯一确定非空分段函数的求值问题 分段函数的解析式 分段函数的图象及应用 映射的概念 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 函数的表示法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( )
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})
D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})
D [题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.]
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3 B．2
C．1 D．0
B [由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
4．如果f＝，则当x≠0，1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
B [令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，故选B.]
5．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
B [设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.]
二、填空题
6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________．
－1 [由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]
7．f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
[－4，3] [由函数的图象可知，f(x)的值域为[－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]
8．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]
三、解答题
9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
[解] f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，
则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
[解] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)因为f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，
所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)∵f＝＋2＋1＝＋3.∴f(x)＝x2＋3.
[等级过关练]
1．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为( )
A．－1 B．5
C．1 D．8
C [由3x＋2＝2得x＝0，
所以a＝2×0＋1＝1.故选C.]
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5D [由题意得y＋2x＝20，
所以y＝20－2x，
又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，
由y>0即20－2x>0得x<10，
所以53．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x2－2x [以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝x2－2x.]
4．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．
－1 [因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]
5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
[解] (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝
＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0课时分层作业(八) 分段函数与映射
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
A [f(3)＝3－2＝1.]
2．函数f(x)＝x＋的图象是( )
A B C D
C [当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，
根据一次函数图象可知C正确．
故选C.]
3．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0，3]
B [当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当14．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )
A． B．9
C．－1或1 D．－或
A [依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若05．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
A [该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.]
二、填空题
6．已知A＝R，B＝{x|x≥1}，映射f：A→B，且A中元素x与B中元素y＝x2＋1对应，则当y＝2时，x＝________．
±1 [由x2＋1＝2得x＝±1，故填±1.]
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
f(x)＝ [由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.
综上，f(x)＝]
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－ [在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图象．
[解] (1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4.
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
[解] 当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，f(x)＝
[等级过关练]
1．设f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
A [f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.]
2．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，从A到B的映射f：(x，y)→(x＋y，x－y)的映射下，B中的元素为(4，2)对应的A中元素为( )
A．(4，2) B．(1，3)
C．(6，2) D．(3，1)
D [∵从A到B的映射f：(x，y)→(x＋y，x－y)，B中元素为(4，2)，∴解得
∴集合A中的元素为(3，1)．]
3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
－ [当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.]
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
(－∞，1] [由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．
]
5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3 000元的部分
3%
超过3 000元至12 000元的部分
10%
超过12 000元至25 000元的部分
20%
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
[解] (1)由题意，得
y＝
(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000故这名职工八月份的工资是6 800元．
