章末综合测评(一) 集合与函数概念
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}
C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
C [M∩N＝{－2，－1，0}，故选C.]
2．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，全集U＝A∪B，则集合U(A∩B)的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3，4}，
∴U(A∩B)＝{1，2，5}，
故U(A∩B)共有3个元素．]
3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝
C．AB D．BA
D [∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴BA，故选D.]
4．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f[f(0)]＝( )
A．2 B．4
C．0 D．3
C [结合图象可得f(0)＝3，
则f[f(0)]＝f(3)＝0.]
5．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[－1，1)∪(1，＋∞) D．R
C [由得x≥－1且x≠1，即定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)．]
6．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
A [由函数是偶函数可排除选项B，D，又函数在(0，＋∞)上单调递减，所以排除C，故选A.]
7．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B [由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，
f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，
两式相加，解得g(1)＝3.]
8．函数y＝的图象是( )
A B C D
B [∵y＝＝＝1－，
∴函数y＝的图象可以看作把y＝－向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故选B.]
9．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
C [正方形的对角线长为x，从而外接圆半径为y＝×x＝x.]
10．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
A [由题意可知－1－a＋2a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x2＋bx＋1，又f(x)为偶函数，故b＝0，
∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2，2]
∴f(x)max＝f(2)＝f(－2)＝4＋1＝5，选A.]
11．若f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [由题意可得解得≤a<，故选A.]
12．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)D [由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，∴f(1)>f>f(2)，即f(2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
{4，9，16} [由A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4，9，16}．]
14．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
(－∞，1]和(1，＋∞) [由函数图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1]和(1，＋∞)．]
15．设f＝，则f(x)＝________．
(x>－1) [令t＝－1，解得x＝，代入得f(t)＝，又因为x>0，所以t>－1，故f(x)的解析式为f(x)＝(x>－1)．]
16．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1，3) [∵f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)>0，得－2即－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2(1)求A∩B，A∪B，(UA)∩(UB)；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2∴A∩B＝[3，6]，A∪B＝(2，8)，
(UA)∩(UB)＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．
(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．
又A?C，如图，
∴a的取值范围为{a|a<3}．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域内单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
∴∴故函数g(x)的定义域为.
(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减，由不等式g(x)≤0，得f(x－1)≤－f(3－2x)＝f(2x－3)，
∴∴故不等式g(x)≤0的解集为.
19．(本小题满分12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(UA)∪(UB)；
(3)写出(UA)∪(UB)的所有子集．
[解] (1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0与x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5，2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得UA＝{－5}，UB＝，
所以(UA)∪(UB)＝.
(3)(UA)∪(UB)的所有子集即为集合的所有子集：，，{－5}，.
20．(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间．
[解] (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝
(2)作出函数图象，如图所示．
由函数图象易得函数的增区间为
，.
21．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x－1.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，2]上的最大值与最小值．
[解] (1)由题意可设f(x)＝ax＋b，a＜0，由于f(f(x))＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，
故解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，
故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝，则函数y＝f(x)＋x2－x在上为减函数，在上为增函数．
又由f＝－，f(－1)＝5，f(2)＝－1，
则函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，2]上的最大值为5，最小值为－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
[解] (1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0.
(2)由(1)可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明：设x2＞x1＞1，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0，1＋x＞0，x1－x2＜0，1－x1x2＜0，
∴＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，
因为1＋x2≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，
再根据函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，
解得x＜，故不等式的解集为.
求函数的定义域
【例1】 (1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
[解] (1)解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
1.函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B.
C. D.∪
D [由得x<1且x≠，故选D.]
求函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________．
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
(1)x＋ [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－＝－1即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且＝0，
即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，
所以f(x)＝x2＋x＋.
函数的性质及应用
【例3】 已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数．
思路点拨：(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；
(2)用单调性的定义求解．
[解] (1)由题意，得∴故f(x)＝.
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10，1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1，1)上是增函数．
1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] 由f(t－1)＋f(t)<0得
f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1，1)上是增函数，∴－12．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．
[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即＝，∴a＝0，
又f＝，∴b＝，∴f(x)＝.
巧用奇偶性及单调性解不等式
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式．
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
函数的图象及应用
【例4】 已知：函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数f(x)的值域．
[解] (1)证明：∵函数的定义域为[－3，3]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)当0≤x≤3时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．
(3)函数f(x)的单调区间为：[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]．f(x)在[－3，－1)，[0，1)上为减函数；在[－1，0)，[1，3]上为增函数．
(4)由f(x)的图象可知函数的值域为[－2，2]．
因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．
3.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是________．
(0，3)∪(－3，0) [因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)<0，由题图知，当x>0时，若03，则f(x)>0.
又因为f(x)为奇函数，所以当x<－3时，f(x)<0，当－30.而不等式2xf(x)<0可化为或故不等式的解集为(0，3)∪(－3，0)．]
课件26张PPT。第一章 集合与函数概念阶段复习课求函数的定义域求函数的解析式 函数的性质及应用 函数的性质及应用 点击右图进入…Thank you for watching !
