2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0，1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考：
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示] 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0
2．指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
[提示] 指数函数值随自变量的变化规律
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]
3．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
1.已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞) [由题意可知解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3，4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3，4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
思路点拨：―→
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0，1)，即函数y＝的值域为[0，1)．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域．
[解] 由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1，4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
1.思考辨析
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数． ( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
3．函数y＝的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－≥0得≤1＝，∴x≥0，
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．]
4．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
课件43张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
xy轴(0，＋∞)(0，1)1增函数减函数指数函数的概念指数函数的图象的应用 指数函数的定义域、值域问题 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 指数函数及其性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
【例1】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．
(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0
[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：
(2)中， (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
利用指数函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤.
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－11．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)?
2．若ax＋1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] 因为ax＋1>，所以ax＋1>a3x－5，
当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0指数型函数单调性的综合应用
[探究问题]
1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝的单调性，并写出相应单调区间．
提示：
2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？
提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．
3．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？
提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；
(2)当0【例3】 判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
思路点拨：―→
―→
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3]．
把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．
[解] 函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
1．思考辨析
(1)y＝21－x是R上的增函数． ( )
(2)若0.1a>0.1b，则a>b. ( )
(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0. ( )
(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
3．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
[解] (1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，
即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0，3]．
课件34张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第2课时 指数函数及其性质的应用利用指数函数的单调性比较大小利用指数函数的单调性解不等式 指数型函数单调性的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 指数函数的图象及性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3
C．3 D．1
C [由题意得解得a＝3，故选C.]
2．函数y＝(x≥8)的值域是( )
A．R B.
C. D.
B [因为y＝在[8，＋∞)上单调递减，所以0<≤＝.]
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
C [由2x－1≥0得2x≥1，即x≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C.]
4．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(－1，0) D．(1，0)
C [∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．]
5．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
A B C D
A [当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.]
二、填空题
6．函数f(x)＝3的定义域为________．
[1，＋∞) [由x－1≥0得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞)．]
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
7 [由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.]
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
(－1，0)∪(0，1) [由x<0，得0<2x<1；由x>0，
∴－x<0，0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0.
∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解] (1)因为函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0<≤＝2，
所以函数的值域为(0，2]．
10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
[解] (1)设t＝3x，∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.
[等级过关练]
1．函数y＝a－|x|(0A B C D
A [y＝a－|x|＝，易知函数为偶函数，∵01，故当x>0时，函数为增函数，当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]
2．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
A [∵a>1，且－1]
3．已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12 [∵y＝在R上为减函数，
∴m＝＝3，n＝＝9，
故m＋n＝12.]
4．函数f(x)＝的值域是________．
(0，1) [函数y＝f(x)＝，即有3x＝，由于3x＞0，则＞0，
解得0＜y＜1，值域为(0，1)．]
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
[解] (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，
又f(0)＝1＋b<0，
所以b的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由图②可知，y＝|f(x)|的图象如图所示．
由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3.
课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
D [a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]
2．若<，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
B [∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.
A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，选A.]
4．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A [因为f(x)＝3x－，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数．]
5．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D.
C [函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]
二、填空题
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
mf(n)，∴m7．若－1b1，0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b8．函数f(x)＝的单调递增区间为________．
[0，＋∞) [由于底数∈(0，1)，所以函数f(x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解] (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．
[解] (1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1∵x1∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为.
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
B [∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，
∴a＝，a＝－(舍去)．
∴f(x)＝
∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]
2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
D [f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4＝22，解得b＝.]
3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________．
1 [由题意可知，f(0)＝＝＝0，
∴m＝1.]
4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
[∵a2＋a＋2＝＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，
∴x>1－x，即x>.]
5．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
