第二章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 学案 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 第二章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 学案 Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-10-09 10:23:58 | ||
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文档简介
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
核心素养
物理观念
科学思维
科学态度与责任
1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。
2.会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题。
3.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系及应用。
体会位移公式的推导方法，感受极限法思想的运用。
能运用公式x＝v0t＋at2和v2－v＝2ax解决生活中的实际问题。
知识点一 匀变速直线运动的位移
位移与时间的关系
[思考判断]
（1）物体的初速度越大，位移越大。（×）
（2）物体的加速度越大，位移越大。（×）
（3）物体的平均速度越大，相同时间内的位移越大。（√）,
0～t1时间内位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移x＝x1＋x2。
知识点二 速度与位移关系
[观图助学]
如图所示，A、B、C三个标志牌间距相等为x，汽车做匀加速运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌的速度为vA，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗？
1.公式：v2－v＝2ax。
2.推导
速度公式v＝v0＋at。
位移公式x＝v0t＋at2。
由以上两个公式消去t，可得：
[思考判断]
（1）公式v2－v＝2ax适用于任何直线运动。（×）
（2）物体的末速度越大，位移越大。（×）
（3）对匀减速直线运动，公式v2－v＝2ax中的a必须取负值。（×）,
左图中，利用x＝vAt＋at2可求时间t，再利用vB＝vA＋at求vB，同理求vC。
描述直线运动的五个物理量有x、a、t、v、v0，公式v2－v＝2ax中不包含时间t。
核心要点 匀变速直线运动位移公式的理解与应用
[要点归纳]
1.适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。
2.矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向，那么匀加速直线运动，a取正，匀减速直线运动，a取负。
3.两种特殊形式
（1）当a＝0时，x＝v0t（匀速直线运动）。
（2）当v0＝0时，x＝at2（由静止开始的匀加速直线运动）。
[试题案例]
[例1] 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝
0.5 m/s2，求：
（1）物体在前3 s内的位移；
（2）物体在第3 s内的位移；
（3）物体在15 s内的位移。
解析 （1）由位移公式x＝v0t＋at2得，
物体在3 s内的位移x3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×（－0.5）×32 m＝12.75 m。
（2）同理物体在前2 s内的位移
x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×（－0.5）×22 m＝9 m
因此，第3 s内的位移
Δx＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
（3）物体匀减速运动到速度为零时所用时间
t＝＝ s＝10 s＜15 s
物体在15 s内的位移即为10 s内的位移，
x＝v0t＋at2＝5×10 m＋×（－0.5）×102 m＝25 m
答案 （1）12.75 m （2）3.75 m （3）25 m
误区警示 关于x＝v0t＋at2的注意点
物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，公式可以写成x＝v0t＋at2（a代入的数值应为负值）；若a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为x＝v0t－at2（a代入的数值应为正值）。
[针对训练1] （多选）某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是（ ）
A.v0＝4 m/s，a＝4 m/s2 B.v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C.2 s内的位移为24 m D.2 s末的速度为24 m/s
解析 将位移随时间变化的关系x＝4t＋4t2与位移公式x＝v0t＋at2相对照，即可判定v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，选项A错误，B正确；把t＝2 s代入上述表达式可得x＝24 m，选项C正确；由v＝v0＋at，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，选项D错误。
答案 BC
核心要点 速度与位移关系式的理解及应用
[观察探究]
提示 法一 由v＝at得t＝＝ s＝18 s
位移x＝at2＝×20×182 m＝3 240 m
法二 由v2－v＝2ax得x＝＝ m＝3 240 m。
第二种计算方法较简单。
[探究归纳]
1.公式的适用条件：适用于匀变速直线运动。
2.公式的意义：公式v2－v＝2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。
4.两种特殊形式
（1）当v0＝0时，v2＝2ax。（初速度为零的匀加速直线运动）
（2）当v＝0时，－v＝2ax。（末速度为零的匀减速直线运动）
[试题案例]
[例2] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2（不超载时则为5 m/s2）。
（1）若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
（2）若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度。
解析 （1）设货车刹车时速度大小为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，
a2＝－5 m/s2
代入数据得，超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m
（2）超载货车与轿车碰撞时，由v′2－v＝2a1x′知
相撞时货车的速度
v′＝＝ m/s＝10 m/s
答案 （1）45 m 22.5 m （2）10 m/s
方法凝炼 巧选公式的基本方法
（1）如果题目中无位移x，也不需求x，一般选用速度公式v＝v0＋at。
（2）如果题目中无末速度v，也不需求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2。
（3）如果题目中无运动时间t，也不需求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax。
[针对训练2] 有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
（1）若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
（2）若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？
解析 （1）根据公式v2－v＝2ax
v0＝＝ m/s＝30 m/s。
（2）不装弹射系统时，v2＝2aL
L＝＝ m＝250 m。
答案 （1）30 m/s （2）250 m
核心要点 一个重要的推论
[要点归纳]
推论：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即＝v＝。
[试题案例]
[例3] 一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。求：
（1）滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
（2）滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？
解析 （1）法一 利用速度公式和位移公式求解。
由v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可得
a＝0.128 m/s2，t＝25 s。
法二 利用平均速度公式求解。
由x＝ t＝t得
t＝25 s。
（2）法一 速度公式法
中间时刻t′＝ s
v＝v0＋at′＝3.4 m/s
法二 平均速度公式法
v＝＝3.4 m/s
答案 （1）25 s （2）3.4 m/s
方法凝炼 运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，若题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，一般用＝＝计算较方便。
[针对训练3] 如图所示，一辆汽车自某地A点启动，先做匀加速直线运动，运动到B点时接着做匀速直线运动到C点，整个过程汽车运动的总时间为t，总路程为s，B是AC的中点，则这辆汽车匀速运动的速度大小为 （ ）
A. B.
C. D.
解析 设汽车在AB段用时为t1，在BC段用时为t2，到B点的速度为v。
对AB段：＝t1
对BC段：＝vt2
t1＋t2＝t，
故v＝，A项正确。
答案 A
科学思维——逆向思维法求解运动问题
逆向思维法是把运动过程的“末端”作为“初态”来反向研究问题的方法。如物体做加速运动看成反向的减速运动，物体做减速运动看成反向加速运动来处理。末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能收到事半功倍的效果。
[针对训练1] 一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，到达顶端时速度为0，历时3 s，位移为9 m，求其第1 s内的位移。
解析 反过来看，小球做初速度为0的匀加速直线运动，
则x＝at2，得a＝2 m/s2
在t1＝2 s内的位移x1＝at＝×2×22 m＝4 m
t2＝3 s内的位移：x2＝9 m，
解得小球沿斜面上滑在第1 s内的位移为
x＝x2－x1＝5 m。
答案 5 m
[针对训练2] 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
（1）开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
（2）开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2。
汽车运动的时间t＝＝＝4 s。
（1）因为t1＝2 s＜t，所以汽车2 s末没有停止运动，故
x1＝v0t1＋at＝（20×2－×5×22） m＝30 m。
（2）因为t2＝5 s＞t，所以汽车5 s末已停止运动，可应用逆向思维法，把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则有x2＝at2＝×5×42 m＝40 m。
答案 （1）30 m （2）40 m
1.（位移公式的应用）某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2（m），则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为（ ）
A.1.25 s B.2.5 s
C.3 s D.6 s
解析 比较位移公式x＝v0t＋at2与x＝0.5t＋t2（m）得v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2。由于v＝v0＋at，所以t＝＝ s＝1.25 s，选项A正确。
答案 A
2.（推论的应用）汽车进行刹车试验，若速度从8 m/s匀减速到零所用的时间为
1 s，按规定速度为8 m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9 m，那么上述刹车试验是否符合规定 （ ）
A.位移为8 m，符合规定 B.位移为8 m，不符合规定
C.位移为4 m，符合规定 D.位移为4 m，不符合规定
解析 x＝t＝t＝4 m，所以符合规定。
答案 C
3.（对公式v2－v＝2ax的应用）一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑。当下滑距离为l时，速度为v。那么，当他的速度是时，下滑的距离是（ ）
A. B.
C. D.
解析 由v2－v＝2ax知v2＝2al，得l＝；当速度为时，有＝2al1，得l1＝＝，故选项C正确。
答案 C
4.（匀变速直线运动的综合应用）符合国家安全技术标准的汽车满载时以54 km/h的速度行驶，若刹车的加速度大小为4.5 m/s2，求
（1）制动距离；
（2）该汽车刹车后3 s的速度和位移分别是多少？
（3）刹车后6 s的速度和位移分别是多少？
解析 （1）v－v＝2ax得
当v0＝54 km/h＝15 m/s，a＝－4.5 m/s2时，
x＝ m＝25 m
（2）汽车刹车后到停止所用的时间
t刹＝＝ s≈3.3 s，
故刹车3 s末汽车的速度
v3＝v0＋at3＝15 m/s＋（－4.5）×3 m/s＝1.5 m/s
刹车的位移
x3＝v0t3＋at＝[15×3＋×（－4.5）×32] m＝24.75 m
（3）刹车后6 s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为25 m。
答案 （1）25 m （2）1.5 m/s 24.75 m （3）0 25 m
基础过关
1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是 （ ）
A.物体的末速度与时间成正比
B.物体的位移与时间的平方成正比
C.物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D.若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
解析 根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
答案 C
2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为（ ）
A. B.
C.2t D.4t
解析 由x＝at2和4x＝at′2得t′＝2t，故C正确。
答案 C
3.中国歼—20隐形战斗机进行了飞行测试并成功着陆。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为（ ）
A.vt B.
C.2vt D.不能确定
解析 x＝ t＝t＝，故B正确。
答案 B
4.一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于（ ）
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
解析 画出运动示意图，由v2－v＝2ax，得xAB＝，xBC＝，故xAB∶xBC＝1∶3，选项C正确。
答案 C
5.如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为（ ）
A.8 m/s B.12 m/s
C.10 m/s D.14 m/s
解析 由v2－v＝2ax得v＝＝ m/s＝10 m/s，选项C正确。
答案 C
6.列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为 （ ）
A.3v2－v1 B.3v2＋v1
C. D.
解析 由v2－v＝2ax得，v－v＝2a·2l，v－v＝2a·3l，故v3＝，选项C正确，选项A、B、D错误。
答案 C
7.如图所示，假设列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到
10 m/s时位移为x1。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是（ ）
A.x1 B.x1
C.2x1 D.3x1
解析 由公式v2－v＝2ax变形得x＝，则＝＝，所以x2＝x1，B正确。
答案 B
8.某航母跑道长为200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s，那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为 （ ）
A.5 m/s B.10 m/s
C.15 m/s D.20 m/s
解析 飞机在滑行过程中，做匀加速直线运动，由题意知，v＝50 m/s，a＝6 m/s2，x＝200 m，根据v2－v＝2ax得，借助弹射系统飞机获得的最小初速度v0＝＝ m/s＝10 m/s。故选项B正确。
答案 B
能力提升
9.汽车给人们生活带来极大便利，但随着车辆的增多，交通事故也相应增加。为了安全，在行驶途中，车与车之间必须保持一定的距离，因为从驾驶员看见某一情况到采取制动动作的时间里，汽车仍然要通过一段距离（称为思考距离），而从采取制动动作到车完全静止的时间里，汽车又要通过一段距离（称为制动距离）。下表给出了驾驶员驾驶的汽车在不同速度下的思考距离和制动距离等部分数据。某同学分析这些数据，算出了表格中未给出的数据X、Y，该同学计算正确的是（ ）
速度
思考距离
制动距离
（m/s）
（m）
（m）
10
12
20
15
18
X
20
Y
80
25
30
125
A.X＝40，Y＝24 B.X＝45，Y＝24
C.X＝60，Y＝22 D.X＝40，Y＝21
解析 思考距离，汽车做匀速运动，由x＝vt知
思考时间t＝＝1.2 s
所以Y＝v1t＝20×1.2 m＝24 m
制动距离是汽车做匀减速运动的位移，由v2＝2ax知
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
由v＝2aX，得X＝＝ m＝45 m。
答案 B
10.（多选）一汽车在公路上行驶，位移和速度关系为x＝40－（m），其中x单位为m，v单位为m/s。则下列说法正确的是（ ）
A.汽车做匀减速运动，初速度大小为10 m/s
B.汽车做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2
C.汽车经过4 s速度减小到零
D.汽车经过2 s速度减小到零
解析 根据题中位移和速度关系式x＝40－（m），整理得v2－400 m2/s2＝－10 m/s2·x，对照匀变速直线运动的位移—速度公式v2－v＝2ax，可得v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2。所以汽车做减速运动，初速度大小为20 m/s，加速度大小为5 m/s2，故A错误，B正确；由v＝v0＋at，得t＝ s＝4 s，故C正确，D错误。
答案 BC
11.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多少？
解析 设汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。
对AB段运动，由x1＝vAt1＋at知15＝vA×3＋a×32
同理，对AC段运动，由x2＝vAt2＋at知
30＝vA×5＋a×52
两式联立解得：vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2
再由vB＝vA＋at
得：vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s。
答案 1 m/s2 6.5 m/s
12.飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行
114 m。求：
（1）5 s末的速度大小是多少？
（2）飞机着陆后12 s内滑行多远？
解析 （1）v0＝216 km/h＝60 m/s
最初2 s内，x1＝114 m
代入公式x1＝v0t1＋at，
解得a＝－3 m/s2
5 s末的速度
v2＝v0＋at2＝60 m/s＋（－3）×5 m/s＝45 m/s。
（2）着陆减速总时间t3＝＝ s＝20 s，
飞机着陆后12 s内的位移
x2＝v0t12＋at＝60×12 m＋×（－3）×122 m
＝504 m。
答案 （1）45 m/s （2）504 m
核心素养
物理观念
科学思维
科学态度与责任
1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。
2.会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题。
3.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系及应用。
体会位移公式的推导方法，感受极限法思想的运用。
能运用公式x＝v0t＋at2和v2－v＝2ax解决生活中的实际问题。
知识点一 匀变速直线运动的位移
位移与时间的关系
[思考判断]
（1）物体的初速度越大，位移越大。（×）
（2）物体的加速度越大，位移越大。（×）
（3）物体的平均速度越大，相同时间内的位移越大。（√）,
0～t1时间内位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移x＝x1＋x2。
知识点二 速度与位移关系
[观图助学]
如图所示，A、B、C三个标志牌间距相等为x，汽车做匀加速运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌的速度为vA，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗？
1.公式：v2－v＝2ax。
2.推导
速度公式v＝v0＋at。
位移公式x＝v0t＋at2。
由以上两个公式消去t，可得：
[思考判断]
（1）公式v2－v＝2ax适用于任何直线运动。（×）
（2）物体的末速度越大，位移越大。（×）
（3）对匀减速直线运动，公式v2－v＝2ax中的a必须取负值。（×）,
左图中，利用x＝vAt＋at2可求时间t，再利用vB＝vA＋at求vB，同理求vC。
描述直线运动的五个物理量有x、a、t、v、v0，公式v2－v＝2ax中不包含时间t。
核心要点 匀变速直线运动位移公式的理解与应用
[要点归纳]
1.适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。
2.矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向，那么匀加速直线运动，a取正，匀减速直线运动，a取负。
3.两种特殊形式
（1）当a＝0时，x＝v0t（匀速直线运动）。
（2）当v0＝0时，x＝at2（由静止开始的匀加速直线运动）。
[试题案例]
[例1] 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝
0.5 m/s2，求：
（1）物体在前3 s内的位移；
（2）物体在第3 s内的位移；
（3）物体在15 s内的位移。
解析 （1）由位移公式x＝v0t＋at2得，
物体在3 s内的位移x3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×（－0.5）×32 m＝12.75 m。
（2）同理物体在前2 s内的位移
x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×（－0.5）×22 m＝9 m
因此，第3 s内的位移
Δx＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
（3）物体匀减速运动到速度为零时所用时间
t＝＝ s＝10 s＜15 s
物体在15 s内的位移即为10 s内的位移，
x＝v0t＋at2＝5×10 m＋×（－0.5）×102 m＝25 m
答案 （1）12.75 m （2）3.75 m （3）25 m
误区警示 关于x＝v0t＋at2的注意点
物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，公式可以写成x＝v0t＋at2（a代入的数值应为负值）；若a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为x＝v0t－at2（a代入的数值应为正值）。
[针对训练1] （多选）某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是（ ）
A.v0＝4 m/s，a＝4 m/s2 B.v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C.2 s内的位移为24 m D.2 s末的速度为24 m/s
解析 将位移随时间变化的关系x＝4t＋4t2与位移公式x＝v0t＋at2相对照，即可判定v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，选项A错误，B正确；把t＝2 s代入上述表达式可得x＝24 m，选项C正确；由v＝v0＋at，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，选项D错误。
答案 BC
核心要点 速度与位移关系式的理解及应用
[观察探究]
提示 法一 由v＝at得t＝＝ s＝18 s
位移x＝at2＝×20×182 m＝3 240 m
法二 由v2－v＝2ax得x＝＝ m＝3 240 m。
第二种计算方法较简单。
[探究归纳]
1.公式的适用条件：适用于匀变速直线运动。
2.公式的意义：公式v2－v＝2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。
4.两种特殊形式
（1）当v0＝0时，v2＝2ax。（初速度为零的匀加速直线运动）
（2）当v＝0时，－v＝2ax。（末速度为零的匀减速直线运动）
[试题案例]
[例2] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2（不超载时则为5 m/s2）。
（1）若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
（2）若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度。
解析 （1）设货车刹车时速度大小为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，
a2＝－5 m/s2
代入数据得，超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m
（2）超载货车与轿车碰撞时，由v′2－v＝2a1x′知
相撞时货车的速度
v′＝＝ m/s＝10 m/s
答案 （1）45 m 22.5 m （2）10 m/s
方法凝炼 巧选公式的基本方法
（1）如果题目中无位移x，也不需求x，一般选用速度公式v＝v0＋at。
（2）如果题目中无末速度v，也不需求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2。
（3）如果题目中无运动时间t，也不需求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax。
[针对训练2] 有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
（1）若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
（2）若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？
解析 （1）根据公式v2－v＝2ax
v0＝＝ m/s＝30 m/s。
（2）不装弹射系统时，v2＝2aL
L＝＝ m＝250 m。
答案 （1）30 m/s （2）250 m
核心要点 一个重要的推论
[要点归纳]
推论：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即＝v＝。
[试题案例]
[例3] 一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。求：
（1）滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
（2）滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？
解析 （1）法一 利用速度公式和位移公式求解。
由v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可得
a＝0.128 m/s2，t＝25 s。
法二 利用平均速度公式求解。
由x＝ t＝t得
t＝25 s。
（2）法一 速度公式法
中间时刻t′＝ s
v＝v0＋at′＝3.4 m/s
法二 平均速度公式法
v＝＝3.4 m/s
答案 （1）25 s （2）3.4 m/s
方法凝炼 运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，若题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，一般用＝＝计算较方便。
[针对训练3] 如图所示，一辆汽车自某地A点启动，先做匀加速直线运动，运动到B点时接着做匀速直线运动到C点，整个过程汽车运动的总时间为t，总路程为s，B是AC的中点，则这辆汽车匀速运动的速度大小为 （ ）
A. B.
C. D.
解析 设汽车在AB段用时为t1，在BC段用时为t2，到B点的速度为v。
对AB段：＝t1
对BC段：＝vt2
t1＋t2＝t，
故v＝，A项正确。
答案 A
科学思维——逆向思维法求解运动问题
逆向思维法是把运动过程的“末端”作为“初态”来反向研究问题的方法。如物体做加速运动看成反向的减速运动，物体做减速运动看成反向加速运动来处理。末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能收到事半功倍的效果。
[针对训练1] 一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，到达顶端时速度为0，历时3 s，位移为9 m，求其第1 s内的位移。
解析 反过来看，小球做初速度为0的匀加速直线运动，
则x＝at2，得a＝2 m/s2
在t1＝2 s内的位移x1＝at＝×2×22 m＝4 m
t2＝3 s内的位移：x2＝9 m，
解得小球沿斜面上滑在第1 s内的位移为
x＝x2－x1＝5 m。
答案 5 m
[针对训练2] 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
（1）开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
（2）开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2。
汽车运动的时间t＝＝＝4 s。
（1）因为t1＝2 s＜t，所以汽车2 s末没有停止运动，故
x1＝v0t1＋at＝（20×2－×5×22） m＝30 m。
（2）因为t2＝5 s＞t，所以汽车5 s末已停止运动，可应用逆向思维法，把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则有x2＝at2＝×5×42 m＝40 m。
答案 （1）30 m （2）40 m
1.（位移公式的应用）某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2（m），则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为（ ）
A.1.25 s B.2.5 s
C.3 s D.6 s
解析 比较位移公式x＝v0t＋at2与x＝0.5t＋t2（m）得v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2。由于v＝v0＋at，所以t＝＝ s＝1.25 s，选项A正确。
答案 A
2.（推论的应用）汽车进行刹车试验，若速度从8 m/s匀减速到零所用的时间为
1 s，按规定速度为8 m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9 m，那么上述刹车试验是否符合规定 （ ）
A.位移为8 m，符合规定 B.位移为8 m，不符合规定
C.位移为4 m，符合规定 D.位移为4 m，不符合规定
解析 x＝t＝t＝4 m，所以符合规定。
答案 C
3.（对公式v2－v＝2ax的应用）一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑。当下滑距离为l时，速度为v。那么，当他的速度是时，下滑的距离是（ ）
A. B.
C. D.
解析 由v2－v＝2ax知v2＝2al，得l＝；当速度为时，有＝2al1，得l1＝＝，故选项C正确。
答案 C
4.（匀变速直线运动的综合应用）符合国家安全技术标准的汽车满载时以54 km/h的速度行驶，若刹车的加速度大小为4.5 m/s2，求
（1）制动距离；
（2）该汽车刹车后3 s的速度和位移分别是多少？
（3）刹车后6 s的速度和位移分别是多少？
解析 （1）v－v＝2ax得
当v0＝54 km/h＝15 m/s，a＝－4.5 m/s2时，
x＝ m＝25 m
（2）汽车刹车后到停止所用的时间
t刹＝＝ s≈3.3 s，
故刹车3 s末汽车的速度
v3＝v0＋at3＝15 m/s＋（－4.5）×3 m/s＝1.5 m/s
刹车的位移
x3＝v0t3＋at＝[15×3＋×（－4.5）×32] m＝24.75 m
（3）刹车后6 s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为25 m。
答案 （1）25 m （2）1.5 m/s 24.75 m （3）0 25 m
基础过关
1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是 （ ）
A.物体的末速度与时间成正比
B.物体的位移与时间的平方成正比
C.物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D.若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
解析 根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
答案 C
2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为（ ）
A. B.
C.2t D.4t
解析 由x＝at2和4x＝at′2得t′＝2t，故C正确。
答案 C
3.中国歼—20隐形战斗机进行了飞行测试并成功着陆。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为（ ）
A.vt B.
C.2vt D.不能确定
解析 x＝ t＝t＝，故B正确。
答案 B
4.一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于（ ）
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
解析 画出运动示意图，由v2－v＝2ax，得xAB＝，xBC＝，故xAB∶xBC＝1∶3，选项C正确。
答案 C
5.如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为（ ）
A.8 m/s B.12 m/s
C.10 m/s D.14 m/s
解析 由v2－v＝2ax得v＝＝ m/s＝10 m/s，选项C正确。
答案 C
6.列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为 （ ）
A.3v2－v1 B.3v2＋v1
C. D.
解析 由v2－v＝2ax得，v－v＝2a·2l，v－v＝2a·3l，故v3＝，选项C正确，选项A、B、D错误。
答案 C
7.如图所示，假设列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到
10 m/s时位移为x1。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是（ ）
A.x1 B.x1
C.2x1 D.3x1
解析 由公式v2－v＝2ax变形得x＝，则＝＝，所以x2＝x1，B正确。
答案 B
8.某航母跑道长为200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s，那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为 （ ）
A.5 m/s B.10 m/s
C.15 m/s D.20 m/s
解析 飞机在滑行过程中，做匀加速直线运动，由题意知，v＝50 m/s，a＝6 m/s2，x＝200 m，根据v2－v＝2ax得，借助弹射系统飞机获得的最小初速度v0＝＝ m/s＝10 m/s。故选项B正确。
答案 B
能力提升
9.汽车给人们生活带来极大便利，但随着车辆的增多，交通事故也相应增加。为了安全，在行驶途中，车与车之间必须保持一定的距离，因为从驾驶员看见某一情况到采取制动动作的时间里，汽车仍然要通过一段距离（称为思考距离），而从采取制动动作到车完全静止的时间里，汽车又要通过一段距离（称为制动距离）。下表给出了驾驶员驾驶的汽车在不同速度下的思考距离和制动距离等部分数据。某同学分析这些数据，算出了表格中未给出的数据X、Y，该同学计算正确的是（ ）
速度
思考距离
制动距离
（m/s）
（m）
（m）
10
12
20
15
18
X
20
Y
80
25
30
125
A.X＝40，Y＝24 B.X＝45，Y＝24
C.X＝60，Y＝22 D.X＝40，Y＝21
解析 思考距离，汽车做匀速运动，由x＝vt知
思考时间t＝＝1.2 s
所以Y＝v1t＝20×1.2 m＝24 m
制动距离是汽车做匀减速运动的位移，由v2＝2ax知
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
由v＝2aX，得X＝＝ m＝45 m。
答案 B
10.（多选）一汽车在公路上行驶，位移和速度关系为x＝40－（m），其中x单位为m，v单位为m/s。则下列说法正确的是（ ）
A.汽车做匀减速运动，初速度大小为10 m/s
B.汽车做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2
C.汽车经过4 s速度减小到零
D.汽车经过2 s速度减小到零
解析 根据题中位移和速度关系式x＝40－（m），整理得v2－400 m2/s2＝－10 m/s2·x，对照匀变速直线运动的位移—速度公式v2－v＝2ax，可得v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2。所以汽车做减速运动，初速度大小为20 m/s，加速度大小为5 m/s2，故A错误，B正确；由v＝v0＋at，得t＝ s＝4 s，故C正确，D错误。
答案 BC
11.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多少？
解析 设汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。
对AB段运动，由x1＝vAt1＋at知15＝vA×3＋a×32
同理，对AC段运动，由x2＝vAt2＋at知
30＝vA×5＋a×52
两式联立解得：vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2
再由vB＝vA＋at
得：vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s。
答案 1 m/s2 6.5 m/s
12.飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行
114 m。求：
（1）5 s末的速度大小是多少？
（2）飞机着陆后12 s内滑行多远？
解析 （1）v0＝216 km/h＝60 m/s
最初2 s内，x1＝114 m
代入公式x1＝v0t1＋at，
解得a＝－3 m/s2
5 s末的速度
v2＝v0＋at2＝60 m/s＋（－3）×5 m/s＝45 m/s。
（2）着陆减速总时间t3＝＝ s＝20 s，
飞机着陆后12 s内的位移
x2＝v0t12＋at＝60×12 m＋×（－3）×122 m
＝504 m。
答案 （1）45 m/s （2）504 m