2.3 幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1．结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)
时，增函数
x∈(－∞，0]
时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
2．已知f(x)＝(m＋1)x是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1
C．3 D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________．
[由f(2)＝可知2α＝，
即α＝－，
∴f(4)＝4＝.]
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
1.(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝＝.]
幂函数的图象及应用
【例2】 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)2，1.8；
(4)1.2，0.9，.
思路点拨：构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
[解] (1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
(3)∵函数y＝x是增函数，且2＞1.8，∴2>1.8.
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
∴1.8>1.8，∴2>1.8.
(4)0.9＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)与；
(2)与；
(3)与.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以>.
(3)因为函数y1＝为R上的减函数，又>，
所以>.
又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以>，所以>.
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． ( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． ( )
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数． ( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]
3．函数y＝x的图象是( )
A B C D
C [∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]
4．比较下列各组数的大小：
课件40张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数x奇奇非奇非偶减减增增幂函数的概念 幂函数的图象及应用 幂函数性质的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 幂函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1
C. D．2
A [∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝＝，即α＝－，∴k＋α＝.]
2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
3．幂函数的图象过点(3 )，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3 )，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]
4．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
A [当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B [由于函数y＝在它的定义域R上是减函数，∴a＝>b＝>0.由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B.]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝________．
[依题意＝()m＝3，所以＝－1，m＝－2，
所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝.]
7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．
－1 [∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．
综上可知，m＝－1.]
8．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.
③ [由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解] (1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
10．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[解] (1)由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[等级过关练]
1．三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是( )
A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7，故选D.]
2．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；
④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f＝；
②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；
③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；
④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；
⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，
故当x1>x2>0时，f<.
故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，
f>.故选A.]
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为4 ，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在区间[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
[当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在区间[0，＋∞)上为减函数，不合题意；若04．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)3易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以
解得
所以35．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，求函数g(x)的最大值与最小值．
[解] 因为f(x)的图象过点，所以＝2α，
所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝＝1－.
又g(x)＝1－在上是增函数，
所以g(x)min＝g＝－3，
g(x)max＝g(1)＝－1.
