章末综合测评(二) 基本初等函数(Ⅰ)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
C [∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．计算：log225·log52＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [log225·log52＝·＝＝2×＝3.]
3．函数y＝·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1，2) B．[1，2)
C．(1，2] D．[1，2]
B [要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)．]
4．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
B [对A，y＝x的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0，0)点，D中，y＝x是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]
5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
D [法一(排除法)：当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0
法二(直接法)：幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．]
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
C [由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
7．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
D [易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
8．若loga(a2＋1)A．(0，1) B.
C. D．(0，1)∪(1，＋∞)
C [由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.
又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>，综上，a∈.]
9．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
C [c＝5log3，只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0log33.4>log3>1，所以a>c>b.]
10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)B [因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
11．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
B [由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B.]
12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，则f(lg(lg 5))的值为( )
A．－3 B．5
C．－5 D．－9
A [lg(log510)＝lg＝－lg(lg 5)，
设t＝lg(lg 5)，
则f(lg(log510))＝f(－t)＝5.
因为f(x)＝ax5－bx＋1，
所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，
则f(t)＝at5－bt＋1，
两式相加得f(t)＋5＝2，
则f(t)＝2－5＝－3，
即f(lg(lg 5)的值为－3.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
(1，4) [由于函数y＝ax恒过(0，1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1，4)．]
14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
[函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.]
15．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
[因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
16．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________．
[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，＝－＝log1 000 125－log1 000 12.5＝log1 000＝log1 000 10＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求值：
18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解] (1)将点(－2，9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)∵f(x)＝为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
[解] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2·log2的最大值与最小值．
[解] ∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝2＝2时，f(x)有最小值－.
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
即函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．
[解] (1)由得1＜x＜3，
∴函数h(x)的定义域为(1，3)．
(2)不等式f(x)≥g(x)，
即为loga(x－1)≥loga(3－x)．(*)
①当0＜a＜1时，不等式(*)等价于
解得1＜x≤2.
②当a＞1时，不等式(*)等价于
解得2≤x＜3.
综上，当0＜a＜1时，原不等式解集为(1，2]；
当a＞1时，原不等式解集为[2，3)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
[解] (1)证明：由函数f(x)＝lg，可得>0，即<0，解得－1(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg＋lg ＝lg ，
而f＝lg
＝lg＝lg，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)若f＝1，f＝2，
则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.
指数与对数的运算
【例1】 计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)1.5×＋80.25×＋(×)6
[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
1.设3x＝4y＝36，则＋的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．1
D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
基本初等函数的图象及应用
【例2】 (1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1，1) B．(1，0)
C．(2，1) D．(2，0)
C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]
比较大小
【例3】 若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD．<
C [因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．]
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
3.设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
C [∵a＝log2π>log22＝1，b＝logπc>b，故选C.]
基本初等函数的性质
【例4】 (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数．]
(2)[解] ①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a，3a]上为增函数．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为.
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3，27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝－，t∈[3，27]，
∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
分类讨论思想的应用
【例5】 已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图象经过点M(2，1)，讨论f(x)的单调性并证明．
思路点拨：(1)分a>1和00；
(2)借助单调性的定义求证．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，只需ax－1>0，即ax>1.
①当a>1时，解得x>0，
②当0故当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)由f(2)＝1得，log3(a2－1)＝1，
∴a2＝4，即a＝2.
故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设x2>x1>0，则2x2>2x1>1，
即2x2－1>2x1－1>0，
∴>1，
∴log3>log31＝0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a>1与04.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
[解] ①若a>1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，
∴f(2)－f(1)＝，
即a2－a＝，
解得a＝.
②若0∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝.
综上所述，a＝或a＝.
课件33张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）阶段复习课指数与对数的运算 基本初等函数的图象及应用 比较大小 基本初等函数的性质 分类讨论思想的应用 点击右图进入…Thank you for watching !