3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1．借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
思考2：该定理具备哪些条件？
[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
D [结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]
2．函数y＝2x－1的零点是( )
A. B. C. D．2
A [由2x－1＝0得x＝.]
3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(－1，0)
C．(2，3) D．(1，2)
D [由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1，2)．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 [由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
求函数的零点
【例1】 (1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
判断函数零点所在的区间
【例2】 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e)
C．(1，2) D．(0，1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(1)C (2)C [(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C.]
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
A [f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
函数零点的个数
[探究问题]
1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程
f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．
故a的范围为y＝f(x)的值域．
法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
【例3】 已知0
A．1 B．2
C．3 D．4
思路点拨：构造函数f(x)＝a|x|(0与g(x)＝|logax|(0→
B [函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(01．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
[解] 由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，作出y＝及y＝|logax|(0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
[解] 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当01．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
1．思考辨析
(1)f(x)＝x2的零点是0. ( )
(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． ( )
(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． ( )
(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1，2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D [∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．]
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是.
课件37张PPT。第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点f(c)＝0x轴零点连续不断f(a)·f(b)求函数的零点 判断函数零点所在的区间 函数零点的个数 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
B [由f(x)＝2x－，得
f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，
∴f·f(1)<0.
∴零点所在区间为.]
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2，0
C. D．0
D [当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]
4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
C [若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]
5．若aA．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
C [∵a∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]
二、填空题
6．函数f(x)＝的零点是________．
1 [令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]
7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
2 [令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.]
8．函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________．
(－3，0) [函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知即解得－3三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
[解] ①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；
②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；
③当a<0时，x＝<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，
此时f(x)＝－x2－x－1＝－＝0，
所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－.
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和
B [∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即
∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
(0，4) [由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]
4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
a＜b＜c [画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]
5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
[解] (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
