3.1.2 用二分法求方程的近似解
学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示] 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧
同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝
(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
A [∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
x3 [∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5) f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0，0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
二分法的概念
【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
D [图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
B [二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]
用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
【例2】 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
思路点拨：
[解] 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，
－1.875)
x4＝
＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，
－1.906 25)
x5＝
＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，
－1.921 875)
x6＝
＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，
－1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
[解] 因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－
1.875)
由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.
2．若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)
[解] 确定一个包含正数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，
所以可以取区间(1，2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0
(1，2)
x1＝＝1.5
f(1.5)＝－2.625<0
(1.5，2)
x2＝＝1.75
f(1.75)≈0.234 4>0
(1.5，1.75)
x3＝＝1.625
f(1.625)≈－1.302 7<0
(1.625，1.75)
x4＝＝1.687 5
f(1.687 5)≈－0.561 8<0
(1.687 5，1.75)
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.
利用二分法求方程近似解的过程图示
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
1.思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． ( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． ( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
D [二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
(2，3) [因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2，3)内．]
4．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
课件38张PPT。第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解零点连续不断且f(a)·f(b)<0一分为二二分法的概念 用二分法求函数零点的近似值 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 用二分法求方程的近似解
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
B [用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.]
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1，2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25，1.5) B．(1，1.25)
C．(1.5，2) D．不能确定
A [由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25，1.5)．]
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.375
C．1.42 D．1.5
C [由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]
4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(2，3) D．(2，4)
B [因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4] B．[－2，1]
C. D.
D [∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f(x0)＝________．
－1.625 [由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.]
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
0.687 5(答案不唯一) [∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，
∴方程的解在(0.687 5，0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，
∴方程的一个近似解为0.687 5.]
8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
6 [第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.]
三、解答题
9．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
[解] (1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1，2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值符号
(1，2)
1.5
f(1.5)>0
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25，1.312 5)
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
[解] 令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3)，
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为
f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2，2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
[等级过关练]
1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
C [对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．]
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
C [已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)
≈0.200
f(1.587 5)
≈0.133
f(1.575 0)
≈0.067
f(1.562 5)
≈0.003
f(1.556 2)
≈－0.029
f(1.550 0)
≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
1.562 5 [f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.]
4．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
1.5，1.75，1.875，1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．]
5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．
[证明] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
