3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
随n值而不同
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x2 D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝x2 019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
1.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2，2 019＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 019)＞g(2 019)．
又g(2 019)＞g(6)，
∴f(2 019)＞g(2 019)＞g(6)＞f(6)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x
f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
需选择函数模型的实际问题
[探究问题]
1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？
提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．
2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？
提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
【例3】 (1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
思路点拨：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．
(1)D [结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.]
(2)[解] 由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据．
①设模拟函数为y＝ax＋b时，
将B，C两点的坐标代入函数式，
得解得
所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．
②设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
解得
所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
③设模拟函数为y＝abx＋c时，
将A，B，C三点的坐标代入函数式，
得
由①，得ab＝1－c，代入②③，
得
则解得则a＝＝－0.8.
所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数型函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
1．此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合．
3.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
[解] (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x.(x∈[0.5，8])
∵y＝－x2＋x＝－＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L.
1．直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
1.思考辨析
(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些． ( )
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)函数y＝logx衰减的速度越来越慢． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)课件48张PPT。第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型x轴增函数增函数增函数y轴越来越快越来越慢几类函数模型的增长差异 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较需选择函数模型的实际问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四) 几类不同增长的函数模型
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
B [结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.]
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
C [用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．]
4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．]
7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
① [结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.]
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
[解] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，
当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
[解] 据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．
当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
[等级过关练]
1．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
A B C D
A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
D [设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]
3．若已知16x>log2x [作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4，16)内，xlog2x.]
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
1.75 [∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]
5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
