3.2.2 函数模型的应用实例
学 习 目 标
核 心 素 养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.
1．常用函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
A [将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
7 [设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4，7)，
所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解] 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，
即＝，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×，
即＝＝＝，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
1.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝(t∈N*)
①当0所以当t＝10时，ymax＝900(元)．
②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)．
结合①②得ymax＝1 125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大.
自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域．
(2)求羊群年增长量的最大值．
思路点拨：―→―→
[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－＋，即当x＝时，y取得最大值.
1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
[解] 根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝(02.(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
[解] 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋0，所以0自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
拟合数据构建函数模型解决实际问题
[探究问题]
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
思路点拨：→
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高
/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
1.思考辨析
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ( )
(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
A [由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.957 6
B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝
D．y＝1－0.042 4
A [由题意可知y＝(95.76%)，即y＝0.957 6.]
4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解] (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝
它的图象如图(2)所示．
课件49张PPT。第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例利用已知函数模型解决实际问题 自建确定性函数模型解决实际问题 拟合数据构建函数模型解决实际问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十五) 函数模型的应用实例
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
D [分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．]
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
B [由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.]
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
C [可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.]
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
D [由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]
5．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
C [每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．]
二、填空题
6．已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
甲 [对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9 [设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.]
8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4 [设至少要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.322，所以需4次．]
三、解答题
9．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
[解] (1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，
定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
10．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
图(1) 图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1，0.25)和(4，1)代入，
得解得
所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
[等级过关练]
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
B [依题意有
解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.
所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋.
所以当t＝＝3.75时，P取得最大值．
即最佳加工时间为3.75分钟．]
2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
C [由已知，得a＝a·e－50k，
∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.]
3．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)
2037 [由题意，得14(1＋1.25%)x－2 008>20，即x－2 008>＝≈28.7，
解得x>2 036.7，又x∈N，故x＝2 037.]
4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
[由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b， ①
5.2＝alg (3.2×1019)＋b， ②
②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2.
所以a＝＝＝.]
5．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
