一、集合与函数概念
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A?B(或B?A)；
(2)真子集：若集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，则AB(或BA)；
(3)相等：若集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集，则A＝B.
(4)子集的性质
①若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
②子集关系的传递性，即A?B，B?C?A?C.
③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
④A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
(3)补集：UA＝{x|x∈U且xA}．
4．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应
名称
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
(1)函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}称为函数的三要素．
(2)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数．
5．函数的单调性
单调性的定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，
(1)若当x1
(2)若当x1f(x2)，则说f(x)在区间D上是减函数．
6．函数的奇偶性
(1)f(x)是奇函数?对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)?对定义域内任意x，都有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)图象关于原点对称；
(2)f(x)是偶函数?对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)?对定义域内任意x，都有f(－x)－f(x)＝0?f(x)图象关于y轴对称．
二、基本初等函数(Ⅰ)
1．分数指数幂
(1)a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2．根式的性质
(1)()n＝a；
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数式与对数式的互化
loga N＝b?ab＝N(a>0，a≠1，N>0)．
5．对数的四则运算法则
若a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．对数的换底公式及推论
(1)换底公式：logab＝(a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)．
(2)常用推论：
①logab·logba＝1；
②logab·logbc·logca＝1；
③logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0)．
7．对数恒等式：alogaM＝M，logaax＝x.
8．幂、指数、对数函数的图象及性质
(1)指数函数的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
(2)对数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1，0)，即当x＝1时，y＝0
x∈(0，1)时，y<0；
x∈(1，＋∞)时，y>0
x∈(0，1)时，y>0；
x∈(1，＋∞)时，y<0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
(3)五个常见幂函数的图象：
三、函数与方程
1．函数的零点
(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
(3)函数零点的判断
①若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
(1)概念：对于区间[a，b]上连续的，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
(2)用二分法求函数零点的近似值
第一步：确定区间[a，b]，验证：f(a)·f(b)<0，给定精确度；
第二步：求区间[a，b]的中点x1；
第三步：计算f(x1)；若f(x1)＝0，则x1就是函数零点；若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1；若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1；
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
3．函数模型的应用
(1)三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
增长速度
ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长
增长后果
总会存在一个x0，当x>x0时，就有ax>xn>logax
(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤
1．任何一个集合都至少有两个子集． (×)
[提示] 空集只有一个子集．
2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (×)
[提示] 结合集合的描述法可知{x|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的定义域；{y|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1上的点集，故不正确．
3．若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1. (×)
[提示] {x2，1}＝{0，1}，则x＝0.
4．{x|x≤1}＝{t|t≤1}． (√)
5．对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．
(√)
6．若A∩B＝A∩C，则B＝C. (×)
[提示] B，C未必相等．
7．若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)[提示] 不能用特殊值判断函数的单调性．
8．函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． (×)
[提示] [1，＋∞)为函数的单调递增区间的子集．
9．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (×)
[提示] 单调区间不能用“∪”连接．
10．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (√)
11．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
(×)
[提示] 函数未必在原点处有定义．
12．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
13．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (√)
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数． (×)
[提示] b＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R是偶函数．
15.＝()n＝a(n∈N＋)． (×)
[提示] 注意n的奇偶性．
16．若am0，且a≠1)，则m[提示] 当a>1时，命题成立．
17．函数y＝2－x在R上为单调减函数． (√)
18．若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN. (×)
[提示] MN>0未必M>0，N>0.
19．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数． (×)
[提示] a>1时，上述命题成立．
20．函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．
(√)
21．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． (√)
22．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (×)
[提示] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．
23．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.
(×)
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．
(√)
25．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)26．某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利． (×)
[提示] 降价后：价格为100(1＋10%)×90%＝99，比较两者间的关系，易知亏损．
27．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (×)
[提示] 未必，如当x＝2时，函数y＝2x与y＝x2函数值相等．
28．不存在x0，使ax0[提示] 存在，结合函数图象可知．
29．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度． (√)
30．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (×)
[提示] a>0，b>1.
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
A [因为B＝{x|3－2x＞0}＝，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.]
3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
B [法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
D [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.]
5．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
D [根据函数解析式特征求函数的定义域、值域．
函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
D [当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使f(x＋1)7．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
B [由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜＋＜1，得0＜＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.]
8．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．
12 [法一：令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
－2 [由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.]
课件57张PPT。模块复习课图示法确定性互异性无序性属于不属于∈列举法描述法集合数集a a －a减(0，1)01增减(0，＋∞)R增c连续不断f(a)·f(b)<0× × × √ √ × × × × √ √ × √ × × × × √ × √ × × √ √ √ × × × × √ Thank you for watching !模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是( )
A．A?B B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1，2，3，4，5} D．A∩(UB)＝{1}
D [A显然错误；A∩B＝{2，3}，B错；A∪B＝{1，2，3，4}，C错，故选D.]
2．设f(x)＝则f(f(2))等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [∵f(2)＝log3(22－1)＝1，∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.]
3．函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
B [∵f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝20＝1>0，且f(x)单调递增，故零点在(－1，0)内，选B.]
4．函数y＝log2|1－x|的图象是( )
A B C D
D [函数y＝log2|1－x|可由下列变换得到：y＝log2x→y＝log2|x|→y＝log2|x－1|→y＝log2|1－x|.故选D.]
5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝lg x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2－2x＋1
B [f(x)＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，故选B.]
6．若10m＝，10n＝6，则n－2m＝( )
A．－lg 2 B．lg 2
C．－lg 3 D．lg 3
D [∵10m＝，10n＝6，∴m＝lg ，n＝lg 6，∴n－2m＝lg 6－2lg ＝lg 6－lg 2＝lg ＝lg 3，故选D.]
8．设x>y>1，0A．x－a>y－a B．axC．axlogay
C [对于A，由0y>1得到x－ay>1，0ay，B不正确；对于C、D，由于0y>1可得ax9．已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f＝f(x)
C [∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排除A、B.
又f＝＝＝－f(x)，故选C.]
10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的零点时，其参考数据如表所示．
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.002 9
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.55 B．1.56
C．1.57 D．1.58
B [由表可知，f(1.562 5)＝0.003>0，
f(1.556 2)＝－0.002 9<0，
所以函数f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上，
故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]
11．已知函数f(x)＝是R上的单调增函数，则a的取值范围是( )
A．(1，) B．(－1，)
C．[3－，2) D．(1，3－)
C [若函数f(x)＝是R上的单调增函数，则解得3－≤a<2.故选C.]
12．若函数f(x)＝ax－x－a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
C [函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，a>1时，两函数图象有两个交点；01.
]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设A∪{－1，1}＝{－1，1}，则满足条件的集合A共有________个．
4 [∵A∪{－1，1}＝{－1，1}，∴A?{－1，1}，
满足条件的集合A为：，{－1}，{1}，{－1，1}，共4个．]
14．计算：lg －lg ＋lg －log89×log278＝________．
[lg －lg ＋lg －log89×log278
＝lg －×
＝lg 10－＝1－＝.]
15．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上是增函数，则实数m的最小值等于________．
1 [由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的对称轴为x＝1，∴a＝1，∴f(x)＝2|x－1|，
又∵f(x)在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m≥1.]
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
(－2，2) [因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2，2)．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．
(1)分别求A∩B，(RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1[解] (1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2x>1}＝{x|x>2}．
A∩B＝{x|2(RB)∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}．
(2)①当a≤1时，C＝，此时C?A；
②当a>1时，C?A，则1综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3]．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－(舍去)．
所以x＝0，所以函数f(x)的零点为x＝0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
于是2a＝＝＋
＝－.
因为>0，所以2a>－＝0，即a>0.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
[解] (1)由已知得g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－－＝.
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋ )内是单调增函数．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝＋的定义域为M.
(1)求M；
(2)当x∈M时，求函数f(x)＝2(log2x)2＋alog2x的最大值．
[解] (1)由题意知
解得1≤x≤2，故M＝{x|1≤x≤2}．
(2)f(x)＝2(log2x)2＋alog2x，令t＝log2x，t∈[0，1]，
可得g(t)＝2t2＋at，t∈[0，1]，其对称轴为直线t＝－，
当－≤，即a≥－2时，g(t)max＝g(1)＝2＋a，
当－>，即a<－2时，g(t)max＝g(0)＝0.
综上可知，f(x)max＝
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0且a≠1)，
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.
[解] (1)要使函数有意义，则有
解得－∴函数F(x)的定义域为.
(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x)，
F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－2x＋1)－loga(1＋2x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
(3)∵f(x)－g(x)＞0，
∴loga(2x＋1)－loga(1－2x)＞0，
即loga(2x＋1)＞loga(1－2x)．
①当0＜a＜1时，有0<2x＋1<1－2x，
∴－②当a＞1时，有2x＋1>1－2x>0，∴0综上所述，当0＜a＜1时，有x∈，使得f(x)－g(x)＞0；
当a＞1时，有x∈，使得f(x)－g(x)＞0.
22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？
[解] (1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
所以f(1)＝，得k1＝，g(1)＝，得k2＝，
即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝ (x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，
则投资股票类产品为(20－x)万元，
依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，ymax＝3万元．
则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．
