初升高衔接课
第一部分 数与式的运算
●知识点1 常用的乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.
(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.
(7)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．
(8)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
[对点练]
计算：
(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；
(2)；
(3)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)；
(4)(x2＋2xy＋y2)(x2－xy＋y2)2.
[解] (1)原式＝43＋m3＝64＋m3.
(2)原式＝－＝m3－n3.
(3)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋42)＝(a2)3－43＝a6－64.
(4)原式＝(x＋y)2(x2－xy＋y2)2
＝[(x＋y)(x2－xy＋y2)]2＝(x3＋y3)2
＝x6＋2x3y3＋y6.
●知识点2 二次根式
(1)定义：式子(a≥0)叫做二次根式．
(2)性质：
①()2＝a(a≥0)；
②＝|a|＝；
③·＝(a≥0，b≥0)；
④＝(a>0，b≥0)．
(3)分母(子)有理化的方法：
分母和分子都乘以分母(子)的有理化因式，化去分母(子)中的根号．如a＋b与a－b，a＋b与a－b互为有理化因式．
[对点练]
1．化简：
(1)；(2).
[解] (1)原式＝＝＋1.
(2)原式＝＝＝.
2．化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋(x≥1)．
[解] (1)原式＝|－2|＋|－1|＝2－＋－1＝1.
(2)原式＝|x－1|＋|x－2|
＝
●知识点3 因式分解的常用方法
1．提公因式法
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．
2．公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
(3)立方和和立方差公式：a3±b3＝(a±b)(a2?ab＋b2)．
3．十字相乘法
(1)x2＋(p＋q)x＋pq型：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
(2)二次三项式mnx2＋(mb＋na)x＋ab型：
将二次项系数mn，常数项ab写成如图所示的十字形式，发现“十字相乘，乘积相加”等于一次项的系数mb＋na，即mnx2＋(mb＋na)x＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．
[对点练]
1.分解因式：
(1)x3－6x2＋9x；
(2)a2(x－y)＋4(y－x)．
[解] (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2.
(2)原式＝a2(x－y)－4(x－y)
＝(x－y)(a2－4)＝(x－y)(a＋2)(a－2)．
2.用十字相乘法分解下列因式：
(1)x2－3x＋2；
(2)x2＋4x－12；
(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；
(4)xy－1＋x－y.
[解] (1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x用1来表示(如图②所示)．
(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
(3)由图④，得x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)．
(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1)(y＋1)(如图⑤所示)．
第二部分 一元一次方程与一元二次方程
●知识点1 一元一次方程
(1)定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
(2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.
(3)关于方程ax＝b解的讨论：
①当a≠0时，方程有唯一解x＝；
②当a＝0，b≠0时，方程无解；
③当a＝0，b＝0时，方程有无数解，此时任一实数都是方程的解．
[对点练]
1．已知(a2－1)x2－(a＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程．求代数式2 008(a＋x)(x－2a)＋3a＋5的值．
[解] 根据题意，得
解得a＝1，
则方程变为－2x＋8＝0，解得x＝4，
原式＝2 008(1＋4)(4－2)＋3＋5＝20 088.
2．解下列一元一次方程：
(1)－3x＋7＝4x＋21；(2)－1＝＋x.
[解] (1)移项得－3x－4x＝21－7，
合并得：－7x＝14，系数化为1得：x＝－2.
(2)去分母得：2(x＋4)－10＝5(x－2)＋10x，
去括号得：2x＋8－10＝5x－10＋10x，
移项得：2x－15x＝－8，合并同类项得：－13x＝－8，
系数化为1得：x＝.
●知识点2 根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，通常用符号“Δ”来表示．
(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
(3)当Δ<0时，方程没有实数根．
[对点练]
1．判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．
(1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0；
(3)x2－ax＋(a－1)＝0；(4)x2－2x＋a＝0.
[解] (1)因为Δ＝32－4×1×3＝－3<0，
所以方程没有实数根．
(2)该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4>0，
所以方程一定有两个不等的实数根
x1＝，x2＝.
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，①当a＝2时，Δ＝0，
所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ>0，
所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1.
(4)由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①当Δ>0，即4(1－a)>0，即a<1时，方程有两个不相等的实数根x1＝1＋，x2＝1－.
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
③当Δ<0，即a>1时，方程没有实数根．
2.选用恰当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2＋x＝0；
(2)x2＋6x＋9＝0；
(3)x2－2x－15＝0；
(4)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0)．
[解] (1)方程变为x(x＋1)＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
(2)方程变为(x＋3)2＝0，解得x＝－3.
(3)方程变为(x＋3)(x－5)＝0，
解得x1＝－3，x2＝5.
(4)方程变为(ax＋1)(x＋1)＝0，
解得x1＝－，x2＝－1.
●知识点3 根与系数的关系
(1)根与系数的关系：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，
那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
(2)应用根与系数的关系巧设方程：
若已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则可设一元二次方程为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
[对点练]
1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
[解] 法一(代入法)：因为2是方程的一个根，
所以5×22＋k×2－6＝0，所以k＝－7.
所以方程就为5x2－7x－6＝0，
解得x1＝2，x2＝－.
所以方程的另一个根为－，k的值为－7.
法二(根与系数的关系)：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，
所以x1＝－.由＋2＝－，得k＝－7.
所以方程的另一个根为－，k的值为－7.
2．已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个实数根，求下列式子的值：
(1)x1＋x2；
(2)(2x1－1)·(2x2－1)；
(3)x＋x；
(4)＋.
[解] (1)x1＋x2＝2.
(2)(2x1－1)(2x2－1)＝4x1x2－2(x1＋x2)＋1
＝4×(－1)－2×2＋1＝－7.
(3)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋2＝6.
(4)＋＝＝＝－2.
第三部分 正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数
●知识点1 正比例函数与一次函数
(1)定义
①一次函数：
若两个变量y，x间的关系式可以表示成y＝kx＋b(b为常数，k为不等于0的常数)的形式，则称y是x的一次函数．
②正比例函数：
在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，若b＝0，称y是x的正比例函数．
(2)性质
①正比例函数的特征：
正比例函数y＝kx的图象是经过原点的一条直线．
②一次函数的图象、性质：
k<0，b<0
k<0，b>0
k>0，b<0
k>0，b>0
图象
象限
二、三、四
一、二、四
一、三、四
一、二、三
随x值增大
y减少
y减少
y增大
y增大
[对点练]
1．若一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2的图象过点(0，－4)，则m的值是( )
A．－4 B．2
C．1 D．2或1
C [由题意可知
解得m＝1.]
2．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h，耗油量增加0.002 L/km.
(1)当速度为50 km/h、100 km/h时，该汽车的耗油量分别为________ L/km、________ L/km；
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
[解] (1)设AB的解析式为：y＝kx＋b，
把(30，0.15)和(60，0.12)代入y＝kx＋b中得：
解得
所以AB：y＝－0.001x＋0.18，
当x＝50时，y＝－0.001×50＋0.18＝0.13，
由线段BC上一点坐标(90，0.12)得：
0.12＋(100－90)×0.002＝0.14.
答：当速度为50 km/h，100 km/h时，该汽车的耗油量分别为0.13 L/km、0.14 L/km.
(2)由(1)得：线段AB的解析式为：
y＝－0.001x＋0.18.
(3)设BC的解析式为：y＝kx＋b，
把(90，0.12)和(100，0.14)代入y＝kx＋b中得：
解得
所以BC：y＝0.002x－0.06，
根据题意得解得
答：速度是80 km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km.
●知识点2 反比例函数
(1)定义：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．自变量x的取值范围是x≠0.
(2)图象与性质：
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
②当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大．
[对点练]
1．若函数y＝(m＋1)xm2＋3m＋1是反比例函数，则m＝________．
－2 [由题意可知解得m＝－2.]
2．近视眼镜的度数y(单位：度)与镜片焦距x(单位：m)成反比例，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则y与x之间的函数关系式是________．
y＝(x>0) [由题意，设y＝(k≠0)，则
200＝，∴k＝100.即y＝(x>0)．]
●知识点3 一元二次函数
(1)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
a>0
a<0
图象
顶点
对称轴
x＝－
x<－时，随x增大
y减小
y增大
x>－时，随x增大
y增大
y减小
(2)一元二次函数的三种形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中顶点坐标为(h，k)(a≠0)；
③两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
[对点练]
1．求分别满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)过点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)；
(2)过点A(－3，2)，且顶点坐标为(－2，3)．
[解] (1)设二次函数所对应的解析式为：y＝a(x－1)(x＋1)．
又过点C(0，1)，故a(0－1)(0＋1)＝1，即a＝－1.
所以，函数解析式为y＝－x2＋1.
(2)设二次函数所对应的解析式为y＝a(x＋2)2＋3，
又过点(－3，2)，故2＝a(－3＋2)2＋3，即a＝－1，
所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
2．作出函数y＝x2－2x－3(－2[解] 作出函数的图象．由图可知，当x＝1时，ymin＝－4，当x＝－2时，ymax＝5.
第四部分 不等式
●知识点1 一元一次不等式(组)
(1)一元一次不等式：ax>b(a≠0)的解法
①当a>0时，解得x>；
②当a<0时，解得x<.
即不等式两边同除一个正数，不等号不变方向；不等式两边同除一个负数，不等号改变方向．
(2)一元一次不等式组的解法
解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找”．
[对点练]
1．解不等式：
(1)3－x<2x＋6；(2)≥.
[解] (1)原不等式变为－3x<3，解得不等式的解为x>－1.
(2)原不等式变为3x－6≥14－2x，
即5x≥20，解得不等式的解为x≥4.
2．解不等式组：
(1)(2)
[解] (1)不等式组变为
故不等式组的解集为x>1.
(2)不等式组变为即
故不等式组的解集为●知识点2 简单的一元二次不等式
(1)一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
任意一个一元二次不等式总可以化为以下四种形式中的一种：
①ax2＋bx＋c>0(a>0)；
②ax2＋bx＋c<0(a>0)；
③ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a>0)．
(2)一元二次不等式的解法
图解法，其步骤是：
①将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>(≥)0或ax2＋bx＋c<(≤)0(a>0)；
②确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
③画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；
④由图象得出不等式的解集．
[对点练]
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)－4x2≥1－4x.
[解] (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，
∴方程2x2－3x－2＝0的两根为－，2.
∴原不等式的解集为.
(2)∵Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，
∴原不等式的解集为R.
(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0.
∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
方程4x2－4x＋1＝0的根为x1＝x2＝，
∴原不等式的解集是.
●知识点3 分式不等式
(1)解形如(x－m)(x－n)>0(<0)的不等式的依据是：符号法则——同号得正，异号得负．
①不等式(x－m)(x－n)>0(m>n)，等价于或解得x>m或x②不等式(x－m)(x－n)<0(m>n)，等价于或解得n(2)简单的分式不等式
①>0等价于(x－m)(x－n)>0；≥0等价于
②<0等价于(x－m)(x－n)<0；≤0等价于
[对点练]
1．解下列不等式：
(1)<0；(2)≥0.
[解] (1)原不等式可化为或?或?－1(2)因为x2－x＋1＝＋>0，
所以原不等式可化为x＋3≥0?x≥－3.
2．解不等式≤3.
[解] 原不等式可化为－3≤0?≤0?≥0??x<－2或x≥－.
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