1.1.2 集合间的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
[提示] (1)不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为．
(2)规定：空集是任何集合的子集．
思考2：{0}与相同吗？
[提示]不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠.
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若AB，BC，则AC.
(3)若A?B，A≠B，则AB.
1．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．NM
C．N?M D．N?M
D [∵1∈{1，2，3}，
∴1∈M，
又2N，∴N?M.]
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
B [满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝.]
3．集合{0，1}的子集有________个．
4 [集合{0，1}的子集有，{0}，{1}，{0，1}，共4个．]
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
(1)＝ (2) (3) (4)∈ [集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]
集合间关系的判断
【例1】 判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1
[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素；如－2∈B，但－2A，故AB.
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A?B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系．
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]
子集、真子集的个数问题
【例2】 已知集合M满足：{1，2}M?{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
∴A的子集有，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．
由集合间的关系求参数
[探究问题]
集合A＝{x|1提示：不一定．当b≤1时，A＝，其不含有任何元素，当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为：
【例3】 已知集合A＝{|x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
思路点拨：
―→
[解] (1)当B＝时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是m≤3.
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解] (1)当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠时，如图所示
∴解得即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是m<3.
2．若本例条件“BA”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围．
[解] 当A?B时，如图所示，此时B≠.
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A?B.
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
1．A?B隐含着A＝B和AB两种关系．
2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
1.思考辨析
(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( )
(2)任何一个集合都有子集． ( )
(3)若A＝B，则A?B或B?A. ( )
(4)空集是任何集合的真子集． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8
C．7 D．4
C [易知集合A＝{0，1，2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]
3．已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B?A，则实数m＝________．
4 [由B?A可知，m＝4.]
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围．
(2)若B?A，求a的取值范围．
[解] (1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.
(2)若B?A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.
因为a≥1，
所以1≤a≤2.
课件39张PPT。第一章 集合与函数概念1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系内部封闭曲线都是A=BA?B B?A空集任何集合间关系的判断 子集、真子集的个数问题 由集合间的关系求参数点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 集合间的基本关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．]
2．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
C [∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.]
3．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为( )
A．AB B．AB
C．A＝B D．A?B
B [∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA.]
4．已知集合B＝{－1，1，4}，满足条件M?B的集合M的个数为( )
A．3 B．6
C．7 D．8
C [由题意可知集合M是集合B的非空子集，集合B中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]
5．①0∈{0}；②{0}；③{0，1}?{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含两个元素0，1，而{(0，1)}含一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]
二、填空题
6．设A＝{x|1{a|a≥2} [如图，因为AB，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．
]
7．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是____________．
{(1，2)}，{(－3，4)} [{(1，2)，(－3，4)}的所有真子集有，{(1，2)}，{(－3，4)}，其非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．]
8．设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________．
0 1 [A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或a或b，若A＝B，则a＝0，b＝1.]
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B?A，求实数a组成的集合C.
[解] (1)因为B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，所以BA.
(2)当a＝0时，由题意B＝，又A＝{3，5}，故B?A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B?A，
此时＝3或5，则有a＝或a＝.
所以C＝.
10．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解] (1)当B＝时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意．
(2)当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．
[等级过关练]
1．集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 017＋b2 018的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
C [∵＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，
∴＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.
又a≠1，∴a＝－1，∴a2 017＋b2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.]
2．若集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．N?M
C．MN D．以上均不对
C [M＝{x|x＝＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}．
N＝{x|x＝＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}．
又2k＋1，k∈Z为奇数，k＋2，k∈Z为整数，所以MN.]
3．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么a的取值是________．
0或±1 [由题意得P＝{－1，1}，
又因为Q?P，
①若Q＝，则a＝0，此时满足Q?P；
②若Q≠，则Q＝，由题意知，＝1或＝－1，解得a＝±1.
综上可知，a的取值是0或±1.]
4．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为________．
1或－ [由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.]
5．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
[解] 化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝?A；
②当m>－2时，
B＝{x|m－1因此，要B?A，
则只要?－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
