1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)
1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
1．函数的概念
定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
[提示] (1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
1．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，0)
C．(－1，＋∞) D．(－1，0)
C [由x＋1>0得x>－1.
所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]
2．若f(x)＝，则f(3)＝________．
－ [f(3)＝＝－.]
3．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
(1)[10，100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞)．]
函数的概念
【例1】 (1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(2)下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
[解] (1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．
(2)C [①f(x)＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.故选C.]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )
A B C D
B [根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．下列各组函数中是相等函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
B [A、C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A、C、D错误，选B.]
求函数值
【例2】 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
提示：[1，2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2，3]．
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数y＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．
2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.
1．思考辨析
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )
(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了． ( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应． ( )
(5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D [函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.]
3．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，0)∪(0，1] [由
解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．]
4．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
课件43张PPT。第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念唯一确定数集任意一个数x{f(x)|x∈A}自变量x(a，b)[a，b](－∞，＋∞) 函数的概念 求函数值 求函数的定义域 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 函数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A． B.
C．a D．3a
D [f＝3a，故选D.]
2．下列表示y关于x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
A [结合函数的定义可知A正确，选A.]
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．]
4．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
D [由题意可得所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D.]
5．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
C [∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]
二、填空题
6．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
[由题意知3a－1>a，则a>.]
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________．
－ [由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.]
8．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
(0，2) [由题意知即
解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0，2)．]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
[解] (1)要使函数式有意义，必须满足即所以≤x≤，即函数的定义域为.
(2)要使函数式有意义，必须满足即解得所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，0)．
10．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
[解] (1)由得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝－1，f＝＋.
(3)当a>0时，f(a)＝＋，a－1∈(－1，＋∞)，f(a－1)＝＋.
[等级过关练]
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是( )
A B C D
D [A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．]
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．y＝|x|
A [对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
3．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1.
当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，
f[g(x]当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，
f[g(x)]>g[f(x)]，符合题意；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，
f[g(x)]4．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．
9 [因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，
所以函数的定义域可以为{1，2}，{－1，2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{－1，1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值．
[解] ∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1.
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
