课时分层作业(四十) 直线与平面的夹角
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )
A．∠C1BB1 B．∠C1BD
C．∠C1BD1 D．∠C1BO
D [由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.]
2．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [设PC与平面PAB所成的角为θ，
则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝.]
3. 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示坐标系，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，
S(0，0，)，E，
∴＝，
＝，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴AE、SD所成的角的余弦值为.]
4．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
D [如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB＝∠APC.
∴点O在∠BPC的角平分线上，
∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．
∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC，
即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°，
∴cos∠APO＝.]
5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60° B．90° C．105° D．75°
B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，
B1，C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，∴⊥.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．
45° [作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，
则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝.
∴∠CMO＝45°.]
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．
30° [连接BC1交B1C于O点，连接A1O.
设正方体棱长为a.
易证BC1⊥平面A1B1CD，
∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．
∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
∴sin∠BA1O＝＝，
∴∠BA1O＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.]
8．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
30° [以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，
C(－a，0，0)，
P，
从而＝(2a，0，0)，
＝，＝(a，a，0)．
设平面PAC的一个法向量为n可求得n＝(0，1，1)，
则cos〈，n〉＝＝＝.
所以〈，n〉＝60°.
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.]
9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．
[解] 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．
则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，
可得＝(－1，1，－2).
又＝(0，0，2)为平面DCEF的一个法向量，
可得cos〈，〉＝＝－.
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
|cos〈，〉|＝.
10．如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
[解] 如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m，1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得m＝.解得m＝，
所以＝.
(1)因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
[能力提升练]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
B [建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则A1(1，0，1)，E，
F，B1(1，1，1)．
＝(0，1，0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则
∴n＝(1，2，1)，cos〈n，〉＝＝，
即线面角的正弦值为.]
2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足( )
A．θ＝
B．cos θ＝
C．tan θ＝
D．sin θ＝
B [建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，＝.又平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos〈，n〉＝＝－，所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为＝.]
3．已知三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0，0，3)，A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)．
∴＝(，1，0)，＝(，1，－3)，＝(0，2，－3)．
设面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则
令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3，2)．
设AB与平面SBC所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.]
4．如图所示，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]
5．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：AC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.
∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E，
＝.
由(1)知＝(－1，1，0)为平面PDB的一个法向量．
设AE与平面PDB所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
∴AE与平面PDB所成的角为45°.
3.2.3 直线与平面的夹角
学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角．(重点、难点)
1．直线和平面所成的角
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为.
2．最小角定理
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． ( )
(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角． ( )
(3)直线与平面的夹角的范围是[0°，90°]． ( )
[提示] (1) × 角的度数还可以是零度．
(2)√ (3)√
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
A [由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°
∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°.]
3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A． B． C． D．
B [以D为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，E，
所以＝(1，1，0)，＝，
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，而＝(0，－1，1)，
∴cos〈n，〉＝＝，∴〈n，〉＝.
∴直线A1B与平面BDE所成角为＝.]
用向量求直线与平面所成的角
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别是PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成的角的大小．
[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算，的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．
[解] 如图，设PA＝1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，M，N，S.
(1)证明：＝，
＝，
因为·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)＝，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．
由a·＝0，a·＝0，得
令x＝2，得a＝(2，1，－2)，
∵|cos〈a，〉|＝＝，
∴SN与平面CMN所成角为45°.
[规律方法] 用向量法求线面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
[跟踪训练]
1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，1)，
＝(－1，1，m)，＝(－1，1，0)，
又由·＝0，·＝0，
知为平面BB1D1D的一个法向量，
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.
则sin θ＝＝＝.
cos θ＝＝，
依题意＝3，解得m＝，
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
用定义法解决直线与平面的夹角问题
[探究问题]
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[思路探究] (1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．
(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．
[解] (1)因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC?平面PAC，
PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
(2)取PC的中点E，连接DE.
因D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.
连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin∠DAE＝＝＝.
母题探究：1.(改变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[解] 由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，
因为∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝×＝，PB＝，BD＝.
在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，AD＝，所以sin∠DAE＝＝＝.
即AD与平面PAC夹角的正弦值为.
2．(改变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？
[解] 由(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
过A作AE⊥PC.
所以AE⊥平面PBC.
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a.故AD＝a.
在△APC中AP＝2a，
AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，
所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin θ＝AC×
＝a×＝a＝a，
所以sin∠ADE＝＝＝.
即AD与平面PBC夹角的正弦值为.
[规律方法] 作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.
运用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求直线与平面所成的角
∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
[思路探究] 根据定义或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解．
[解] 法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
又∵BC＝a，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．
取BC中点为H，连接AH，OH，
∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，
AH2＋OH2＝AO2.
∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH.
又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH⊥平面α.
∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝＝.
∴∠AOH＝45°.
∴OA与平面α所成的角为45°.
法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，
作∠BOC的平分线OH交BC于H.
又OB＝OC＝a，BC＝a，
∴∠BOC＝90°.
故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，
得cos∠AOH＝＝，
∴OA与平面α所成的角为45°.
[规律方法] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
[跟踪训练]
2．如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
[解] 由题意得∠CBD＝45°，
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.
∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°.
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°.
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
C [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.]
2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l、a为异面直线，则所成角的最大值为.]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
C [取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.]
4．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
[cos〈a，n〉＝＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.]
5．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
[解] 取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，
∴＝.
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴CM⊥平面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量．
∵B，∴M.
又∵C，∴＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
课件53张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.3 直线与平面的夹角选修2-10°90°射影射影 最小的角 用向量求直线与平面所成的角 用定义法解决直线与平面的夹角问题 运用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求直线与平面所成的角 点击右图进入…Thank you for watching !
